¿$X$ es el espacio de todas las funciones continuas con el % de la norma $||f||=\sup_{t\ge0}e^{kt}|f(t)|<\infty.$es $X$ un espacio de Banach?

Question

Fijar $k\in \mathbb{R}$ y sea el espacio de todos continuo funciones $X$ s.t. $f:[0,\infty) \to\mathbb{R}$ $ $$|f|=\sup_{t\ge0}e^{kt}|f(t)|

¿Un espacio de Banach es $X$?

Creo $X$ Banach si $k\ge0$ y tuve una prueba breve. Pero no tengo ni idea si es de $X$ Banach cuando $k

Answer 1

Supongamos que $\{f_n\}$ es de Cauchy. Fix $>0$. Deje $n_0$ tal que, para todos los $t$, $|f_n(t)-f_m(t)|< \,e^{-kt}$ si $n,m\geq n_0$. Ahora a empezar con $n_0$, y elija $n_{j+1}$ tal que $|f_{n_{j+1}}(t)-f_{n_j}(t)|<2^{-j}\, /e^{kt}$. Vamos $$ f(t)=f_{n_0}(t)+\sum_{j=0}^\infty f_{n_{j+1}}(t)-f_{n_j}(t). $$ Esto es bien definidos para cada una de las $t$, desde $$ \left|\sum_{j=K}^\infty f_{n_{j+1}}(t)-f_{n_j}(t)\right| \leq \sum_{j=K}^\infty |f_{n_{j+1}}(t)-f_{n_j}(t)| \leq\sum_{j=K}^\infty 2^{j}\,\,e^{-kt}=2^{K+1}\,e^{-kt}. $$ Ahora, ya $$ f_{n_r}(t)-f(t)=\sum_{j=r}^\infty f_{n_{j+1}}(t)-f_{n_j}(t), $$ tenemos que $$ e^{kt}|f_{n_r}(t)-f(t)|\leq 2^{-r+1} $$ Por lo $\|f_{n_r}-f\|\to0$. En particular, $$ e^{kt}\,|f(t)|\leq 1 + e^{kt}|f_{n_0}(t)|<\infty. $$ Por lo $f\in X$. Como la secuencia original $\{f_n\}$ fue de Cauchy, $\|f_n-f\|\to0$. Por lo $f$ es un límite de la secuencia, y $X$ es completa.

Answer 2

A menos que me falta algo me parece que esto sigue muy fácilmente, cualquier % positivo o negativo de $k$, de la integridad de funciones continuas en norma uniforme. Siguiendo la sugerencia de Paul Garrett, supongo que $f_n$ es Cauchy en $X$% y dejó $g_n = e^{kt} f_n$. Entonces $|g_n - gm|\infty = |f_n - f_m|_X$, $g_n$ es de Cauchy en el espacio $BC([0,\infty))$ de funciones continuas acotadas, que es un espacio de Banach, así $g_n$ converge uniformemente para algunos limita continua $g$. Set $f = e^{-kt} g$, que se encuentra en $X$ y ahora $|f_n - f|_X = |e^{kt} (fn - f)|\infty = |gn - g|\infty \to 0$.