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Question

$$L=\lim_{n \to \infty} \int_{0}^\infty \frac{1}{1+x^n} dx$$ $$\phi(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+x^n}$$

Así que yo estaba simplemente jugando con $\int_{0}^\infty \frac{1}{1+x^2} dx $ y es igual a $\frac{\pi}{2}$. Así que pensé que si esta integral converge, entonces los poderes superiores de x debe también. Y para el caso, ¿cuál es el límite cuando el poder se vuelve infinitamente grande?

1) he intentado graficar $\phi(x)$ y tengo una en x=0 la función es igual a 1, pero también es igual a 1 para todos los $x \epsilon [0,1)$

2) Y en 1 es igual a 1/2 y es igual a 0, $x \epsilon (1,\infty)$

Basado en 1) y 2) tengo un presentimiento de que la $L=1$.

Cualquier rigurosas pruebas? Gracias de antemano. Y me dicen acerca de esta cuestión o de este tipo nombre formal del coz yo no sabía qué buscar en google.

Answer 1

Usted también puede mostrar un contorno hermoso integral $n \geq 2$

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\text{d}x}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\left(\displaystyle \frac{\pi}{n}\right)} $$

con que $$ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \underset{(+\infty)} {\sim} \frac {\pi} {n} $$ que

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\text{d}x}{1+x^n} \underset{n \rightarrow + \infty}{\rightarrow}1 $$

Answer 2

Pensé que sería instructivo para presentar un camino a seguir que se basa sólo en las escuelas elementales de cálculo herramientas. Para ello, vamos a proceder.

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Hacer cumplir la sustitución de $x\mapsto x^{1/n}$, podemos ver que para $n>1$

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac1{1+x^n}\,dx&=\frac1n \int_0^\infty \frac{x^{1/n}}{x(1+x)}\,dx\tag 1 \end{align}$$

Escribir la integral en el lado derecho de la $(1)$ como la suma

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{x^{1/n}}{x(1+x)}\,dx&=\int_0^1 \frac{x^{1/n}}{x(1+x)}\,dx+\int_1^\infty \frac{x^{1/n}}{x(1+x)}\,dx\tag2 \end{align}$$

y hacer cumplir la sustitución de $x\mapsto 1/x$ en la segunda integral en el lado derecho de la $(2)$ revela

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac1{1+x^n}\,dx&=\frac1n \int_0^1 \frac{x^{1/n}+x^{1-1/n}}{x(1+x)}\,dx\tag3 \end{align}$$

El próximo, con parciales de la fracción de expansión, nos encontramos con que

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac1{1+x^n}\,dx&=\color{blue}{\frac1n\int_0^1 \frac{x^{1/n}+x^{1-1/n}}{x}\,dx}-\frac1n\int_0^1 \frac{x^{1/n}+x^{1-1/n}}{1+x}\,dx\\\\ &=\color{blue}{1+\frac1{n-1}}-\frac1n\int_0^1 \frac{x^{1/n}+x^{1-1/n}}{1+x}\,dx\tag4 \end{align}$$

En cuanto a la integral en el lado derecho de la $(4)$ es trivialmente visto a estar acotada en valor absoluto por $2$, nos encontramos con que

$$\int_0^\infty \frac1{1+x^n}\,dx=1+O\left(\frac1n\right)$$

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Tomando el límite cuando $n\to \infty$, se obtiene el codiciado límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}\int_0^\infty \frac1{1+x^n}\,dx=1}$$

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HERRAMIENTAS UTILIZADAS: Primaria Integral de Teoremas, la Sustitución Parcial de la Fracción de Expansión

Answer 3

Lebesgue dominado Teorema de convergencia con dominante función $f(x)=1$ $[0,1]$ y $\frac{1}{1+x^2}$ $(1,+\infty)$ le dará a usted $$ f(x)=\int_0^{+\infty}\lim_n \frac{1}{1+x^n} d x= \int_0^{+\infty}\phi(x) d x=1.$ $

Para el cálculo de $\phi$, usted tiene que mostrar que $x^n\rightarrow 0$ si $0\leq x 1$, que es sencilla de las definiciones...