Una secuencia de $an$ se llama subadditive si $a{n+k} \leqslant a_n + a_k$ % todos $n, k \in \mathbb{N}$. Lemma subadditive de Fekete afirma que si una secuencia de $a_n$ es subadditive, entonces converge de la secuencia $an/n$. ¿Qué pasa con una secuencia que cumpla el más débil condición $a{nk} \leqslant n a_k$ % todo $k \geqslant 0$y $n > 0$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $a_{k}=k$ si $k$ es una potencia de $2$ $a_l=1$ lo contrario. Esta secuencia satisface su condición. Así que si $nk=2^j$ es una potencia de dos, tanto en $n$ $k$ son potencias de dos, y tenemos $$nk = a_{nk} \leq n a_k = n k.$$
Ahora supongamos $nk$ no es una potencia de dos. A continuación,$a_{nk}=1$, por lo que $$1 = a_{nk} \leq n a_k$$ que debe ser verdadero como $a_k \geq 1$.
Sin embargo, tenemos dos subsecuencias de $a_k/k$, una convergencia a la 1 y otra convergente a 0.
He aquí otro ejemplo divertido. Set $a_1 = 1$. Deje $a_p = p$ $p$ prime, y $a_k$ 1 de lo contrario. Debemos tener siempre $a_{kn} \leq n a_k$ al $kn$ es primo porque $p=kn$ implica $k=1$ o $k=p$.
La esencia de su cambio es que usted ha tomado mucho por deshacerse de la adición y sustitución de ésta con la multiplicación, en la medida en que factorización y los números primos importa mucho.
