Hay una función de $f\colon \Bbb R\to \Bbb R$ $C^\infty$ de manera tal que el conjunto $$D=\{y\in \operatorname{Im}(f):\exists x\in f^{-1}(y)\text{ with }f'(x)=0\}$$ es incontable?
Esta pregunta surge cuando el pensamiento sobre el regular los valores de un buen mapa en una variedad diferenciable. Adrs del Teorema dice que $D$ tiene medida cero, por lo que un candidato aquí probablemente será exóticas.
No es demasiado duro para construir una función de donde $D$ es densa: tome un listado de los racionales y una función que tiene una meseta entre el $n$ $n+1$ a la altura de la $n$-th racional.
Voy a preventivamente advertir que esta pregunta es que no se trata de encontrar un trivial de la función cuya derivada se desvanece en una multitud innumerable. Tal función puede ser construido por exigir $f(x)=0$ sobre un conjunto de cantor y extender suavemente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sea $f(x)$ $C^\infty$ función que desaparece en el conjunto de Cantor y es positivo las otras partes, por ejemplo, la función construida por Nate Eldredge en esta respuesta de desbordamiento de matemáticas. Entonces la función $$g(x)=\int_0^xf(t)dt$ $ es una función estrictamente creciente de $C^\infty$ cuyo derivado desaparece precisamente en el conjunto de Cantor, donde su conjunto $D$ de valores críticos es una imagen de biyectiva del conjunto de Cantor y tiene cardinalidad $\mathfrak c.$
