Fórmula de una secuencia definida en $K_1(x,y) := y+0$ si $x \geq y$ y $y-1$ lo contrario

Question

Definir $K_1:[0,1]^2\rightarrow\mathbb{R}$

$$K_1(x,y) := x - \frac{1}{2} \begin{cases} \ +(x - y - \frac{1}{2}) & \text{if %#%#%},\\ \ -(y - x - \frac{1}{2}) & \text{otherwise} \end-{casos}$$

a continuación, con $x \geq y$$ cf. la ecuación de $$K_n(x,y) := \int_0^1K_1(x,u)K_{n-1}(u,y)\textrm{d}u$ parte $(35)$
mostrar que para $3$

$$ n!K_n(x,y) = B_n(x) \begin{cases} B_n(x-y) ~~\textrm{ if } x\geq y\\ ~\\ (-1)^nB_n(y-x)~~\textrm{ otherwise }\end-{casos} $$ Aquí $n\geq 1$ son los Polinomios de Bernoulli.
Compruebe que \begin{align} +\sin(2\pi k x)=(2\pi k)^1\int_0^1K_1(x,u)\cos(2\pi k u)\textrm{d}u\\ -\cos(2\pi k x)=(2\pi k)^2\int_0^1K_2(x,u)\cos(2\pi k u)\textrm{d}u\\ -\sin(2\pi k x)=(2\pi k)^3\int_0^1K_3(x,u)\cos(2\pi k u)\textrm{d}u\\ +\cos(2\pi k x)=(2\pi k)^4\int_0^1K_4(x,u)\cos(2\pi k u)\textrm{d}u \end{align} para todos los $B_n$ y $x\in [0,1]$, $k\in \mathbb{Z}$,
así como $$ B_{n+m}(x)=\frac{(n+m)!}{m.}\int_0^1K_n(x,u)B_m(u)\textrm{d}u\\ $$

Answer 1

Funciones de $K_n(x, y), n\in\mathbb N,$ se consideran en el área de $$\mathbb S = \{(x, y) \in [0,1]^2\}.\tag1$$

Vamos nosotros a través de función de paso $$h(x) = \begin{cases} 1, \text{ if }x \in (0, 1),\\ 0, \text{ otherwize} \end{casos}\tag2$$ para una breve anotación en 2D intervalos de método.

De esta manera, teniendo en cuenta la identidad $$(-1)^nB(x) = B(1-x),\quad n\in\mathbb N\tag3$$ y la escritura de emisión condición en la forma $$K_1(x, y) = yh(x - y) + (y - 1)h(y - x) \tag4,$$ tenemos para acreditar la identidad $$n!K_n(x, y) = B_n(x) - h(x - y)B_n(x - y) - h(y - x)B_n(x + 1 - y).\quad k \ge 1\tag5$$

En primer lugar, y con la evidente identidad $$B_1(x) - B_1(y) = x - y\tag6,$$ uno puede escribir $$B_1(x) - h(x - y)B_1(x - y) - h(y - x)B_1(x + 1 - y) = h(x - y) (B_1(x) - B_1(x - y) ) + h(y - x)(B_1(x) - B_1(x + 1 - y)) = yh(x - y) + (y - 1)h(y - x) = K_1(x)),$$ así, la identidad $(5)$ está satisfecho por $k = 1$.

Vamos a demostrar la arbitrariedad del caso por inducción.
El caso de $n = 1$ está probado. Vamos identidad $(5)$ está satisfecho para el caso de $n-1,$ $$(n-1)!K_{n - 1}(x, y) = B_{n - 1}(x) - h(x - y)B_{n - 1}(x - y) - h(y - x)B_{n - 1}(x + 1 - y).$$ Entonces \begin{aligned} (n-1)!\int_0^1\,K_1(x, u)K_{n - 1}(u,y)\,du = \int_0^1(uh(x - u) + (u - 1)h(u - x))\\ \times(B_{n - 1}(u) - h(u - y)B_{n - 1}(u - y) - h(u - x)B_{n - 1}(u + 1 - y))du\\ \end{aligned} \begin{aligned} = \int_0^xuB_{n - 1}(u)\,du + \int_x^1(u - 1)B_{n - 1}(u)\,du\\ \end{aligned} \begin{aligned} - h(x - y)\left(\int_0^yuB_{n - 1}(1 + u - y)\,du + \int_y^xuB_{n - 1}(u - y)\,du\\ + \int_x^1(u - 1)B_{n - 1}(u - y)\,du\right)\\ \end{aligned} \begin{aligned} - h(y - x)\left(\int_0^xuB_{n - 1}(1 + u - y)\,du + \int_x^y(u - 1)B_{n - 1}(1 + u - y)\,du\\ + \int_y^1(u - 1)B_{n - 1}(u - y)\,du\right). \end{aligned}

Lineal de las sustituciones, uno puede conseguir \begin{aligned} (n-1)!\int_0^1\,K_1(x, u)K_{n - 1}(u,y)\,du = \int_0^xB_{n - 1}(u)\,du + \int_0^1(u-1)B_{n - 1}(u)\,du \\ \end{aligned} \begin{aligned} - h(x - y)\left(\int_{1 - y}^1(u + y - 1)B_{n - 1}(u)\,du + \int_0^{x - y}(u + y)B_{n - 1}(u)\,du\\ + \int_{x-y}^{1-y}(u + y - 1)B_{n - 1}(u)\,du\right)\\ \end{aligned} \begin{aligned} - h(y - x)\left(\int_{1-y}^{x + 1 - y}(u + y - 1)B_{n - 1}(u)\,du + \int_{x + 1 - y}^1(u + y - 2)B_{n - 1}(u)\,du\\ + \int_0^{1-y}(u + y - 1)B_{n - 1}(u)\,du\right). \end{aligned} \begin{aligned} & = \int_0^xB_{n - 1}(u)\,du + \int_0^1(u-1)B_{n - 1}(u)\,du - \int_0^1(u + y - 1)B_{n - 1}(u)\,du \\ & - h(x - y)\int_0^{x - y}B_{n - 1}(u)\,du + h(y - x)\int_{1 - y + x}^1B_{n - 1}(u)\,du \end{aligned} \begin{aligned} & = \int_0^xB_{n - 1}(u)\,du - y\int_0^1B_{n - 1}(u)\,du \\ & - h(x - y)\int_0^{x - y}B_{n - 1}(u)\,du + h(y - x)\int_{1 - y + x}^1B_{n - 1}(u)\,du \end{aligned}

El uso de identidades $$\int_a^x\,B_{n - 1}(t)\,dt = \frac1n(B_n(x) - B_n(a)),\tag7$$ $$B_n(1) - B_n(0) = 0,\quad n > 1,\tag8$$ da \begin{aligned} &n!\int_0^1\,K_1(x, u)K_{n - 1}(u,y)\,du = B_n(x) - B_n(0 ) - y(B_n(1) - B_n(0))\\ & - h(x - y)(B_n(x - y) - B_n(0)) + h(y - x)(B_n(1) - B_n(x + 1 - y))\\ & = B_n(x) - h(x - y)B_n(x - y) - h(y - x)B_n(x + 1 - y) - (y - h(y - x))(B_n(1) - B_n(0))\\ & = B_n(x) - h(x - y)B_n(x - y) - h(y - x)B_n(x + 1 - y), \end{aligned} $$\boxed{n!K_n(x, y) = B_n(x) - h(x - y)B_n(x - y) - h(y - x)B_n(x + 1 - y).}$$ Así, la identidad $(5)$ está satisfecho para arbitrario $n\in\mathbb N.$