¿Cómo probar $\lim_{x\rightarrow0^+}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k}=\pi$?

Question

$$\lim{x\rightarrow0^+}\sum{k=1}^{+\infty}\frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k}=\pi$$

Han intentado ampliar el $\sin{(x\sqrt{k})}$, pero todavía no puede conseguir $\pi$.

Answer 1

Uso de pista de Ron Gordon la suma tiende a la integral como $x \to 0+$. Un estmate del error sigue de Euler-Maclaurin:

$$\sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(y) \, dy = \frac{1}{2}(f(n) + f(1)) + \int_1^n ({y }- 1/2)f'(y) \, dy$$

$f(y) = \sin (x \sqrt{y})/y$% Y tomar $n \to \infty$tenemos

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(x\sqrt{k})}{k} - 2\int_x^\infty \frac{\sin u}u \, du \ = \frac{1}{2} \sin x + \int_1^\infty ({y }- 1/2)\left(x \frac{\cos(x\sqrt{y})}{2 y^{3/2}} - \frac{\sin(x \sqrt{y})}{y^2} \right) \, dy$$

La integral en el lado derecho es absoluta y uniformemente convergente y el límite es de $0$ $x \to 0$. La integral en el lado izquierdo converge a $\pi$.

Answer 2

Podemos calcular el límite givin a través de una circunvolución con una identidad aproximada:

$$ \lim{m\to +\infty}\sum{k\geq 1}\int{0}^{+\infty}\frac{\sin(x\sqrt{k})}{\sqrt{k}}\sqrt{m}e^{-\sqrt{m}\,x}\,dx=\lim{m\to +\infty}\sum{k\geq 1}\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{k}(k+m)}\=\lim{m\to +\infty}\frac{1}{m}\sum{k\geq 1}\frac{1}{\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\frac{k}{m}+1\right)}=\int{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}=2\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{1+u^2}=\color{red}{\pi}.$$

Answer 3

(No estoy seguro acerca de la corrección de mi enfoque, pero estoy escribiendo aquí.)

Tenga en cuenta la suma de$S_n$, $$ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k} $$ Ahora, como la función de $f(k) (=\frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k})$ se disminuye con la $k$ (si $x$ es positivo) (véase la nota más abajo). Así, podemos utilizar los límites inferior y superiorcomo, $$ \int_1^{\infty} f(k) \, dk \leq S_{\infty} \leq f(1)+\int_1^{\infty} f(k) \, dk $$ Pero $f(1)=sin(x)$, por lo que, $$ \int_1^{\infty} \frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k} \, dk \leq S_{\infty} \leq sin(x)+\int_1^{\infty} \frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k} \, dk $$ Tomando $\lim_{x\rightarrow0^+}$ en esta se consigue, $$ \lim_{x\rightarrow0^+} \int_1^{\infty} \frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k} \, dk \leq \lim_{x\rightarrow0^+}S_{\infty} \leq \lim_{x\rightarrow0^+}\int_1^{\infty} \frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k} \, dk $$ Por lo tanto, $$ \lim_{x\rightarrow0^+}S_{\infty} = \lim_{x\rightarrow0^+}\int_1^{\infty} \frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k} \, dk $$ Poner $t=x\sqrt{k}$ y resolver para obtener, $$ \lim_{x\rightarrow0^+}S_{\infty} = \lim_{x\rightarrow0^+} 2\int_x^{\infty} \frac{\sin{(t)}}{t} \, dt $$ Y así $$ \lim_{x\rightarrow0^+}S_{\infty} = 2\lim_{x\rightarrow0^+} \int_x^{\infty} \frac{\sin{(t)}}{t} \, dt = 2 \int_0^{\infty} \frac{\sin{(t)}}{t} \, dt = 2 \frac{\pi}{2} = \pi $$

Nota: Puedo decir que la función de $f(k)=\frac{\sin{(x\sqrt{k})}}{k}$ es una función decreciente como, digamos si $0\leq x\sqrt{k} \leq \frac{\pi}{2}$ para evitar la periodicidad en $sine$$0\leq k \leq \frac{\pi^2}{4x^2}$. Tome $\lim_{x\rightarrow0^+}$ y, por tanto,$0\leq k < \infty$, lo cual es cierto. Y así podemos decir que el $f(k)$ es decreciendo con la función de ${x\rightarrow0^+}$.