Demostrar/Refutar que si dos conjuntos tienen el mismo poder se establece a continuación son el mismo conjunto

Question

Estoy realmente seguro de que si dos conjuntos tienen el mismo poder, entonces son el mismo conjunto. Sólo me pregunto, ¿cómo se hace exactamente ir probar y mostrar esto?

Normalmente estoy equivocado, así que si alguien me puede mostrar un ejemplo donde esto falla, me gusta demasiado.

La tarea simplemente pregunta de verdadero/falso, pero estoy con ganas de demostrar que si es posible. Mis pensamientos son los que desde el poder establecido es, por definición, el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto, si cada uno de los dos conjuntos son idénticos, tenemos un mapa de identidad entre cada serie, por lo que es indistinguible de los cuales el poder es un conjunto dado de alimentación del conjunto. Espero que no era detallado. Dado un conjunto sólo tiene un juego de poder, podemos concluir que en realidad son el mismo conjunto.

Answer 1

Supongamos $A \neq B$. Sin pérdida de geneality, existe $x \in A$ tal que $x \notin B$. A continuación, $\{x\} \in \mathscr{P}(A)$ wherease $\{x\} \notin \mathscr{P}(B)$. Por lo tanto $\mathscr{P}(A) \neq \mathscr{P}(B)$.

Por el contrario, si $\mathscr{P}(A) = \mathscr{P}(B)$, entonces todos sus singleton son los mismos. Por lo tanto $A = B$.

$A = B$ si y sólo si $\mathscr{P}(A) = \mathscr{P}(B)$.

Answer 2

Para agregar en William respuesta con un resultado positivo en la prueba, primero se tiene que tenga en cuenta la siguiente observación:

$$A=\bigcup\{B\mid B\subseteq A\}$$

Para probar esto, la inclusión $A\subseteq\bigcup\{B\mid B\subseteq A\}$ es trivial desde $A\subseteq A$, por lo que tomamos $A$ en la unión. En la otra dirección, ya que cada $B$ en la unión es un subconjunto de a $A$ la unión es un subconjunto de a $A$.

Ahora podemos proceder. El por encima de la identidad puede ser escrito en términos de la energía establece como $A=\bigcup\mathcal P(A)$.

Suponga $\mathcal P(A)=\mathcal P(B)$, por lo $\bigcup\mathcal P(A)=\bigcup\mathcal P(B)$, por lo $A=B$.

Answer 3

Una forma alternativa para responder a esta vieja pregunta: para todos los conjuntos a y B,

$$ \begin{array}{ll} & \mathcal{P}(A) = \mathcal{P}(B) \\ \equiv & \;\;\;\text{"extensionality"} \\ & \langle \forall V :: V \in \mathcal{P}(A) \equiv V \in \mathcal{P}(B) \rangle \\ \equiv & \;\;\;\text{"definition of %#%#%, twice"} \\ & \langle \forall V :: V \subseteq A \equiv V \subseteq B \rangle \\ \Rightarrow & \;\;\;\text{"choose %#%#%, and choose %#%#%"} \\ & (A \subseteq A \equiv A \subseteq B) \;\land\; (B \subseteq A \equiv B \subseteq B) \\ \equiv & \;\;\;\text{"%#%#% is reflexive, so %#%#% and %#%#%"} \\ & A \subseteq B \land B \subseteq A \\ \equiv & \;\;\;\text{"definition of set equality"} \\ & A = B \\ \end{array} $$

Actualización: Como un comentario señala con razón, por encima de la prueba es muy similar a mi respuesta a otra pregunta. De hecho, se puede probar la versión más fuerte de esta pregunta del teorema de la que uno:

$$ \begin{array}{ll} & \mathcal{P}(A) = \mathcal{P}(B) \;\equiv\; A = B \\ \equiv & \;\;\;\text{"double inclusion, twice"} \\ & \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B) \land \mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A) \;\equiv\; A \subseteq B \land B \subseteq A \\ \Leftarrow & \;\;\;\text{"logic"} \\ & (\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B) \;\equiv\; A \subseteq B) \;\land\; (\mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A) \;\equiv\; B \subseteq A) \\ \equiv & \;\;\;\text{"the other theorem, twice"} \\ & \text{true} \\ \end{array} $$