Sobre los números "interesantes" #2

Question

Llamamos divisor de un entero positivo a interesante si es un divisor de un número y difiere de 1 y del propio número. Llamamos a un número $X$ muy interesante si tiene al menos dos divisores interesantes y es divisible por la diferencia entre dos de sus divisores interesantes cualquiera.

¿Cómo se puede encontrar el producto de todos los números muy interesantes?

Experimenté numéricamente y llegué a la conclusión de que esos números nunca superan los 1000. ¿Es realmente así?

Answer 1

Supongamos que $n$ es muy interesante.

Entonces $n$ debe ser compuesto, por lo que podemos escribir, $n=ab$ , donde $a$ es el menor factor primo de $n$ y $b > 1$ .

Si $b \le a$ , entonces por la minimidad de $a$ Debemos tener $b=a$ pero luego $n=a^2$ lo cual no es posible, ya que el cuadrado de un primo no es un número muy interesante. Por lo tanto, $b > a$ .

Si $a$ es impar, entonces $n$ es impar, por lo tanto también lo es $b$ .

Pero entonces $b-a$ es par, por lo tanto, ya que $(b-a){\,\mid\,} n$ se deduce que $2{\,\mid\,}n$ contradicción.

Por lo tanto, debemos tener $a=2$ Así que $n=2b$ .

Entonces $b-2$ debe dividir $n$ Pero entonces, como $$n = 2b = 2(b-2) + 4$$ se deduce que $(b-2){\,\mid\,}4$ Por lo tanto $b \le 6$ Así que $n \le 12$ .

Para $1 \le n \le 12$ los únicos candidatos son $6,8,10,12$ ya que son los únicos números compuestos pares que no son el cuadrado de un primo.

El número $10$ no es muy interesante, ya que $5-2 = 3$ que no es un divisor de $10$ .

Es fácilmente comprobable que los números $6,8,12$ son muy interesante, de ahí que esos sean los únicos números muy interesantes.