Sabemos que hay una estructura casi compleja en $S^6$ que no es integrable. ¿Siempre es posible encontrar estructuras casi complejas en $S^{2n}$? ¿En particular uno admite $S^4$?
Respuesta
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Khushi
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En el Sur de les clases caractéristiques des estructuras fibrés sphériques, Wu demostrado que $S^{4n}$ no puede admitir casi una compleja estructura para $n \geq 1$.
En Grupos de Lie et puissances réduites de Steenrod, Borel y Serre demostrado que $S^{2n}$ no puede admitir una compleja estructura para $n \geq 4$.
Por lo tanto, la única incluso dimensiones en las esferas que puede admitir casi una compleja estructura de las $S^2$$S^6$. De hecho, ambas admiten casi estructuras complejas. El primero es el familiar de la esfera de Riemann, mientras que el segundo obtiene casi una compleja estructura viendo como la longitud de la unidad puramente imaginario octonions. Nota, se puede obtener la casi compleja estructura en $S^2$ en forma análoga, usando cuaterniones; ver a esta pregunta.
La casi compleja estructura en $S^2$ es integrable; en realidad, casi compleja estructura en dos dimensiones del colector es integrable, ver a esta pregunta. Sin embargo, la casi compleja estructura en $S^6$ descrito anteriormente es conocido por ser no-integrable. Todavía se desconoce si $S^6$ admite un integrable casi compleja estructura. De hecho, se desconoce si existe un $2n$-dimensiones del colector, $n \geq 3$, en el que se admite casi estructuras complejas sin la admisión de un integrable casi compleja estructura. En la dimensión $4$, hay ejemplos de colectores que admitir que casi estructuras complejas, ninguno de los cuales es integrable; un ejemplo es $(S^1\times S^3)\#(S^1\times S^3)\#\mathbb{CP}^2$, ver Teorema $9.2$ de Barth, Hulek, Peters, y van de Ven, Compacto Superficies Complejas (segunda edición).
