Encontrar $\lim \limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$, % dado $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Question

Estoy trabajando en un problema de libro de texto. El primer paso es demostrar que

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

(que hice). El ejercicio va en

Utilice este límite [es decir, el uno arriba] para encontrar a $$\lim \limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ $.

¿Cómo puede hacerse esto? Realmente no veo una conexión entre los dos...

Answer 1

Usando la fórmula del medio ángulo, tenemos $1-\cos x = 2\sin^2\frac x2$ tan $$ \lim\limits{x\to 0} \frac {1-\cos x} {x} = 2\lim\limits {x\to 0} \frac {\sin^2\frac x2} {x} = \lim\limits{x\to 0} \frac {\sin\frac x2} {x / 2} \cdot\lim\limits {x\to 0} \sin\frac x2 = 1\cdot0 = 0 $$ donde hemos utilizado el hecho de que ambos límites existen.

Answer 2

$$ \begin{eqnarray} \lim{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x} &=& \lim{x \to 0} \frac{(1-\cos{x})(1+\cos x)}{x(1+\cos x)} \ &=& \lim{x \to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x(1 + \cos x)} \ &=& \lim{x \to 0} \frac{x\sin^2 x}{x \cdot x(1+ \cos x)} \ &=& \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \times \frac{\sin{x}}{x}\times \frac{x}{1+\cos x} = 0 . \end{eqnarray } $$

Answer 3

Utilizando L'Hopital

$$\lim \limits{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim \limits{x \to 0}\frac{(1 - \cos x)'}{x'} = \lim \limits_{x \to 0} \sin x = 0$$