Pruebalo $\text{rank}(AB)\ge\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n.$

Question

Si $A$ es una matriz de $m \times n$ y $B$ $n \times k$ matriz, demostrar que

$$\text{rank}(AB)\ge\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n.$$

También muestran que cuando se produce la igualdad.

Answer 1

Reivindicamos $\dim \ker\,A+\dim\ker B \geq \dim\ker AB$.

Sea $\beta={\alpha_1,\dots,\alpha_r }$ base $\ker B$. No es difícil ver que $\ker B\subseteq \ker AB$ $\beta $ a base de $\ker AB$ podemos extender. Supongamos que ${\alpha_1,\dots,\alphar,\alpha{r+1},\dots,\alphan \ }$ ser la base para $\ker AB$. Así $B(\alpha{i})\neq 0$ $i \in {r**

$$\dim\ker A+\dim\ker B \geqslant n-r+r =n \Longrightarrow\dim\ker A+\dim\ker B \geqslant \dim\ker AB$$

Answer 2

Como se señala en otra respuesta, basta para mostrar $\dim\ \operatorname{Ker}(A)+\dim\ \operatorname{Ker}(B) \geq \dim\ \operatorname{Ker}(AB)$. Esto es equivalente a indicar que $\dim\ \operatorname{Ker}(AB)/\operatorname{Ker}(B) \leq \dim\ \operatorname{Ker}(A)$. Para ello, utilice el primer teorema de isomorfismo de espacios del vector sobre el mapa linear $\operatorname{Ker}(AB) \rightarrow \operatorname{Ker}(A)$ definidas en $x \mapsto Bx$. Esto demuestra que $\operatorname{Ker}(AB)/\operatorname{Ker}(B)$ es isomorfo a un subspace de $\operatorname{Ker}(A)$, que demuestra la desigualdad.

Answer 3

Recordar las transformaciones lineales isomorfas al espacio de la matriz.

Aplicando el Teorema del rango, nulidad, $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n,\operatorname{rank}(B)+\operatorname{nullity}(B)=k$ y $\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{nullity}(AB)=k.$

Así, $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)+\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{nullity}(B)=n+\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{nullity}(AB)$

$\implies \operatorname{rank}(AB)-\operatorname{rank}(A)-\operatorname{rank}(B)+n=\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{nullity}(B)-\operatorname{nullity}(AB)$

$\geq \operatorname{nullity}(A)$% [Desde $Bv_2=0$ $v2\in Mat{k\times 1}(F)\implies ABv_2=0$] $\geq 0.$