Pruebalo $h'(t)=\int_{a}^{b}\frac{\partial\phi}{\partial t}ds$.

Question

Que $\phi:[a,b]\times[c,b]\to \mathbb{R}$ ser continuo. Definir $h:[c,d]\to \mathbb{R},h(t)=\int{a}^{b}\phi(s,t)ds$. Asumir que $\frac{\partial\phi}{\partial t}$ existe y es continua en $[a, b]\times[c, b]$. Demostrar que $h'(t)=\int{a}^{b}\frac{\partial\phi}{\partial t}ds$.

He intentado probar por primera diferenciación $h(t)$w.r.t $t$ pero no debería ser tan fácil. ¿Está bien que sólo se diferencian en $h(t)$w.r.t $t$ directamente? O ¿cómo probarlo?

Answer 1

Ya que $\phi$ es continua y fluida (su derivado es también continuo), y puesto que el dominio de integración es fija, entonces usted puede intercambiar integral con operador derivado.

\begin{equation} \nonumber \begin{array}{lcl} h'(t) & = & \frac{\partial h}{\partial t} = \ & = & \frac{\partial}{\partial t} \int{a}^{b}\phi(s,t)ds = \ & = & \int{a}^{b} \frac{\partial \phi(s,t)}{\partial t}ds & \end{matriz} \end{equation}

Esta es la regla del integral de Leibniz.

Mira este y este.

Answer 2

Aunque uno puede utilizar la teoría de la medida (por ejemplo, el teorema de convergencia dominada) para probar esto, sin embargo, hay un enfoque directo, porque se trata de una función continua. Deje $t_0 \in [c,d]$$\varepsilon>0$. Desde $\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial t}(s,t_0)$ existe, entonces para cada a $s \in [a,b]$ no es un porcentaje ($\delta(t_0,s,\varepsilon)>0$tal que $$ \left|\frac{\partial\phi}{\partial t}(s,t_0)-\frac{\phi(s,t)-\phi(s,t_0)}{t-t_0}\right|< \frac{\varepsilon}{b} \quad \forall (s,t) \in [a,b]\times[c,d],\ |t_0-t|<\delta(t_0,s,\varepsilon). $$ Desde $$ [a,b]\times[c,d] \subconjunto \bigcup_{(s,t) \en [a,b]\times[c,d]}(s-\varepsilon,s+\varepsilon)\times(t-\delta(t,s,\varepsilon),t+\delta(t,s,\varepsilon)) $$ y $[a,b]\times[c,d]$ es compacto, por lo tanto no existe $$ (s_1,t_1),\ldots, (s_n,t_n) \in [a,b]\times[c,d] $$ tal que $$ [a,b]\times[c,d] \subconjunto \bigcup_{i=1}^n(s_i-\varepsilon,s_i+\varepsilon)\times(t_i-\delta(t_i,s_i,\varepsilon),t_i+\delta(t_i,s_i,\varepsilon)). $$ La elección de $$ \delta_0(\varepsilon)=\min_{1 \le i \le n}\delta(t_i,s_i,\varepsilon), $$ tenemos para todos los $t \in [c,d]$ $|t_0-t|< \delta_0(\varepsilon)$ \begin{eqnarray} \left|\int_a^b\frac{\partial\phi}{\partial t}(s,t_0)ds-\frac{h(t)-h(t_0)}{t-t_0}\right|&=&\left|\int_a^b\left[\frac{\partial\phi}{\partial t}(s,t_0)-\frac{\phi(s,t)-\phi(s,t_0)}{t-t_0}\right]ds\right|\\ &\le&\int_a^b\left|\frac{\partial\phi}{\partial t}(s,t_0)-\frac{\phi(s,t)-\phi(s,t_0)}{t-t_0}\right|ds\\ &\le&\int_a^b\frac{\varepsilon}{b-a}ds=\varepsilon, \end{eqnarray} es decir, $h$ es diferenciable en a $t_0 \in [c,d]$ y $$ h'(t_0)=\int_a^b\frac{\partial\phi}{\partial t}(s,t_0)ds. $$

Answer 3

En realidad, es un corolario del teorema de convergencia dominada de Lebesgue. El intercambio está disponible aquí porque $\frac{\partial \phi(s,t)}{\partial t}$ está dominado por una función integrable, es decir, es límite superior de $[a,b]\times[c,b]$.