y ' ' ' +4y "+4y ' = 2 solución de la ecuación diferencial no homogénea

Question

Esta es la ecuación diferencial no homogénea: $$y'''+4y''+4y'=2.$ $

Por supuesto, comencé con polinomio característico del caso homogénea:

$$t^3+4t^2+4t=0$$ then $% $ $t(t^2+4t+4)=0$tenemos: $$t1=0; t{2,3}=-2.$ $, solución de caso homogénea es:

$$y_s(x)=c_1 + c_2e^{-2x}+c_3xe^{-2x}$$

Ahora, quiero continuar desde este punto a la solución de la ecuación diferencial no homogénea. Por favor dar alguna sugerencia o solución general!!!! Gracias de antemano.

Answer 1

Utilizando el Método de coeficientes indeterminados, la solución particular es de la forma $Ax$.

Tenga en cuenta que $y_p(x)=Ax\implies y'_p(x)=A\implies y''_p(x)=0\implies y'''_x(p)=0$

Ahora, sustituyendo en la ecuación diferencial original, tenemos $$0+4\cdot 0+4A=2$ $ $$\therefore A=\frac 12\implies y_p(x)=\frac x2$ $

$$\therefore y=\frac x2+c_1 + c_2e^{-2x}+c_3xe^{-2x}$$

Answer 2

Que $w=y'$, por lo que la ecuación diferencial se convierte en $$w''+4w'+4w=2.$ $

Luego deje que $w_p=A$ y trabajar con %#% $ #%

Resolver $$w_p''+4w_p'+4w_p=2$, y luego integrar para encontrar $w_p$ (desde $y_p$).

Answer 3

SUGERENCIA:

$$4y'(x)+4y''(x)+y'''(x)=2\Longleftrightarrow$$

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La solución general será la suma de la solución complementaria y la solución particular.

Encontrar la solución complementaria por resolver:

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$$4y'(x)+4y''(x)+y'''(x)=0\Longleftrightarrow$$

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Suponga que una solución será proporcional a $e^{\lambda x}$ para algunas constantes $\lambda$.

Sustituto $y(x)=e^{\lambda x}$ en la ecuación diferencial:

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$$\frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3}\left(e^{\lambda x}\right)+4\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}\left(e^{\lambda x}\right)+4\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(e^{\lambda x}\right)=0\Longleftrightarrow$$

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Sustituto $\frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3}\left(e^{\lambda x}\right)=\lambda^3e^{\lambda x}$:

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$$\lambda^3e^{\lambda x}+4\lambda^2e^{\lambda x}+4\lambda e^{\lambda x}=0\Longleftrightarrow$$ $$e^{\lambda x}\left(\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda\right)=0\Longleftrightarrow$$

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Desde $e^{\lambda x}\ne0$ para cualquier finito $\lambda$, los ceros deben venir desde el polinomio:

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$$\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda=0\Longleftrightarrow$$ $$\lambda\left(\lambda+2\right)^2=0$$

Answer 4

podemos hacer el otro como un otro homogéneo tomando el derivado $$y''''+4y'''+4y''=0$ $ características ecuación $$r^2(r^2+4r+4)=0$ $ así $$y=c_1+c_2x+c_3e^{-2x}+c_4xe^{-2x}$ $

Answer 5

<h1>Sugerencia:</h1> <p>$$y'''+4y''+4y'=2$ $ la solución particular debe ser (según el método de coeficiente indeterminado) $$y_p=A$ $, pero porque hay un similirity con la solución complementaria, por lo tanto debemos multiplicar por x $$y_p=Ax$ $</p>