Intuitivamente, ¿por qué funciona el teorema de Bayes?

Question

No estoy buscando una demostración matemática críptica. Más bien, estoy interesado en la intuición detrás del teorema que revela la probabilidad a posteriori, dada la probabilidad previa $\times$ la verosimilitud.

Answer 1

Artículo de Medium del 7 de agosto de 2015 explica con muchas imágenes! 1 de cada 10 personas está enferma.

Para simplificar el ejemplo, asumimos que sabemos quiénes están enfermos y quiénes están sanos, pero en una prueba real no sabes esa información. Ahora probamos a todos para la enfermedad:

Los verdaderos positivos = número de resultados positivos entre la población enferma = #(Positivos | Enfermos) = 9.

Ahora la pregunta interesante, ¿cuál es la probabilidad de estar enfermo si das positivo en la prueba? En matemáticas, $\Pr(Enfermo | Positivo)?$

Answer 2

Este artículo del 10 de ene de 2020 en Medium puede explicar con solo una imagen!

• Una enfermedad rara infecta solo a $1/1000$ personas.
• Las pruebas identifican la enfermedad con una precisión del 99%.

Si hay 100,000 personas, 100 personas tienen la enfermedad rara y el resto 99,900 no la tienen. Si estas 100 personas enfermas se hacen la prueba, $\color{green}{99}$ darían positivo y $\color{red}{1}$ darían negativo. Pero lo que generalmente pasamos por alto es que si las 99,900 personas sanas se hacen la prueba, el 1% de esas (es decir, $\color{#e68a00}{999}$) darán falso positivo.

Ahora, si das positivo en la prueba, para que tengas la enfermedad, debes ser $1$ de las $\color{green}{99}$ personas enfermas que dieron positivo. El número total de personas que dieron positivo es $\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}$. Entonces, la probabilidad de que tengas la enfermedad cuando das positivo en la prueba es $\dfrac{\color{green}{99}}{\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}} = 0.0901$.

Answer 3

Hay muchas profesiones en las que se realizan estimaciones útiles de probabilidad sin emplear explícitamente la fórmula de Bayes, aunque los 'cálculos' siguen tratando de cambiar las estimaciones dadas nuevas informaciones. Si crees en esto, entonces puedes aceptar que un modelo matemático también puede ser empleado con precisión en algunas situaciones.

Ejemplo 1: Un especialista ha estado trabajando durante casi un año con un paciente que tiene una forma grave de cáncer. El médico estima ahora que el paciente solo tiene un 10% de posibilidades de vivir más de un mes. Comparte el diagnóstico y aconseja al paciente que no puede recomendar más tratamientos agresivos. Así, a lo largo de sus interacciones con su paciente, el especialista observó cómo se desarrollaron los eventos y pudo hacer 'evaluaciones/estimaciones suaves' mientras probaba varios tratamientos.

Ejemplo 2: Un detective se reúne con un sospechoso de asesinato. Con base en su experiencia, le hace al sospechoso una pregunta indirecta que podría arrojar luz sobre la investigación. Sabe que ciertas respuestas 'extrañas' llevarán las cosas a un punto más nítido. El sospechoso responde de manera extravagante, y el detective concluye que una persona inocente ni siquiera podría haber dado esa respuesta. Sí, solo evidencia circunstancial, pero el detective ya tiene un sospechoso principal.