Sé que la suma de los números irracionales no tiene que ser irracional. Por ejemplo, $\sqrt2+\left(-\sqrt2\right)$ es igual a $0$. Pero lo que me pregunto ¿hay algún ejemplo en el que la suma de dos números irracionales no es obviamente racional como un entero, y sin embargo, después de, digamos, 50 dígitos después del punto decimal resulta ser racional. Hay ejemplos con algo no trivial pasando detrás de las escenas?
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Did
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Elige dos números irracionales $x$ $y$ al azar, digamos de forma independiente y cada uno según la medida de Lebesgue en $(0,1)$. A continuación, $x+y$ es irracional con total probabilidad. (Prueba: Para cada número real $z$, $P[x+y=z]=0$, por lo tanto $P[x+y\in\mathbb Q]=\sum\limits_{z\in\mathbb Q}P[x+y=z]=0$, QED.)
En este sentido, la suma de "casi todos" par de números irracionales es irracional. Tenga en cuenta que, para empezar, "casi" todo número real es irracional...
Frangello
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21
Los siguientes ejemplos no son exactamente lo que usted está pidiendo (debido a los resultados, mientras que, obviamente, no racional, terminan siendo agradable enteros), pero que sin embargo puede ser divertido:
$$\sqrt{3 \; + \; 2\sqrt{2}} \; - \; \sqrt{3 \; - \; 2\sqrt{2}} \; = \; 2$$
$$\sqrt[3]{3\sqrt{21} \; + \; 8} \; - \; \sqrt[3]{3\sqrt{21} \; -\; 8} \; = \; 1$$
$$\sqrt[3]{2 \; + \; \sqrt{5}} \; - \; \sqrt[3]{-2 \; + \; \sqrt{5}} \; = \; 1$$
$$\sqrt[3]{10 \; + \; \sqrt{108}} \; - \; \sqrt[3]{-10 \; + \; \sqrt{108}} \; = \; 2$$
$$\sqrt[3]{9 \; + \; 4\sqrt{5}} \; + \; \sqrt[3]{9 \; - \; 4\sqrt{5}} \; = \; 3$$
¿Cómo puede ser verificada? En el primer ejemplo, el cuadrado, entonces reorganizar, entonces el cuadrado de obras. En el segundo ejemplo, muestran que la expresión numérica es una solución a $x^3 + 15x - 16 = 0$ y, a continuación, mostrar que $x=1$ es la única solución real a esta ecuación cúbica mediante la observación de que $x^3 + 15x - 16 = (x-1)(x^2+x+16).$ en El tercer ejemplo se termina siendo la única solución real a $x^3 + 3x - 4 = (x-1)(x^2 + x + 4),$ el cuarto ejemplo, termina siendo la única solución real a $x^3 + 6x - 20 = (x-2)(x^2 + 2x + 10),$ y el quinto ejemplo termina siendo la única solución real a $x^3 - 3x - 18 = (x-3)(x^2 + 3x + 6).$
adx
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11
Si $a+b=q$ donde$a,b\notin\mathbb{Q}$$q\in \mathbb{Q}$,$a=q-b$, de manera que elija un número racional con el período de tiempo suficientemente largo de decimales y usted conseguirá lo que desea. Por otro lado, este es todavía bastante trivial, ya que aquí acabamos de resumir $b$ $q-b$ (en su pregunta, $q=0$).
