Norma del operador integral en $L^1$

Question

Cuál es la norma del operador $$ T\colon L^1[0,1] \to L^1[0,1]: f\mapsto \left(t\mapsto \int_0^t f(s)ds\right) $$ ?

Answer 1

Dejemos que $f\in L^1([0,1])$ . Entonces

$$\|Tf\|_1=\int_0^1 \left|\int^t_0 f(s) ds\right| dt \le \int_0^1 \int_0^1 |f(s)| ds dt = \|f\|_1$$

Esto muestra $\|T\|\le 1$ . Configuración $f_n(x)=n\chi_{[0,1/n]}(x)$ vemos $||f_n||_1=1$ . Tenga en cuenta que

$$\int^t_0 n\chi_{[0,1/n]}(s) ds=\left\{\begin{array}\,1 & \text{if}\;t\ge1/n\\ nt & \text{if}\;t<1/n\end{array}\right.$$ De ello se desprende que $$||Tf_n||_1=\int^1_0\int_0^t n\chi_{[0,1/n]}(s)ds dt=\int_0^{1/n}nt\,dt+\int_{1/n}^1 1\,dt =1-\frac{1}{2n}\rightarrow 1\;\text{as}\;n\rightarrow\infty. $$ Por lo tanto, $||T||=1$ .