Generador de $[G,G]$ que $G = \left<S \right>$.

Question

Si $S'$ es un grupo electrógeno $G$, vamos a $S=S' \cup \{s^{-1} \,| \, s\in S\}$, entonces es el conjunto $[S,S] = \{[s,z] \,|\, s,z \in S\}$ un set de generación de energía para el colector de un subgrupo $[G,G]$? Quiero creer que esto es verdad y "casi" tiene una prueba, cuyo punto débil podría ser la cosa que puede ser utilizado para generar un contra ejemplo. Claramente, si fuera cierto, entonces la respuesta a la pregunta al principio iba a ser positivo.

Reclamación

$[s_1 \dots s_n, z_1 \dots z_m] \in \left<[S,S] \right>$ $s_1, \dots, s_n, z_1, \dots, z_m \in S$.

En primer lugar, mostrar que $[s_1, \dots, s_n, z] \in \left<[S,S]\right>$ donde $s_1, \dots, s_n, z \in S$. Para ello, utilice la inducción en $n$. El caso de $n=1$ es trivial. Para $n >1$, \begin{align*} [s_1 \dots s_n, z] =& (s_1\dots s_n)^{-1} z^{-1} s_1 \dots s_n z \\ =& s_n^{-1} (s_1 \dots s_{n-1})^{-1} z^{-1} s_1 \dots s_n z \\ =& s_n^{-1} (s_1 \dots s_{n-1})^{-1} z^{-1} s_1 \dots s_{n-1} z s_n [s_n, z] \\ =& s_n^{-1} [s_1 \dots s_{n-1}, z] s_n [s_n,z] \\ =& [s_1 \dots s_{n-1}, z]^{s_n} [s_n,z] \end{align*} Por hipótesis de inducción, $[s_1 \dots s_{n-1}, z], [s_n,z] \in \left<[S,S]\right>$. No estoy seguro de cómo completar esta aquí, así que vamos a pasar por ahora y pretender que $[s_1 \dots s_{n-1}, z]^{s_n} \in \left<[S,S]\right>$, por algún milagro.

A continuación, se muestra $[z, s_1 \dots s_n] \in \left<[S,S]\right>$ donde $z = z_1 \dots z_m$, e $z_1, \dots, z_m, s_1, \dots, s_n \in S$. Procedemos por inducción sobre $n$. El caso de $n=1$ es hecho por el anterior. Nota para $n>1$, todo lo que sigue el mismo formato que el anterior, excepto que tenemos el orden invertido. Así hemos terminado.

Answer 1

Como se mencionó en la otra respuesta, lo que se reclama no es cierto y contraejemplos se puede encontrar. Sin embargo, si $S$ es un grupo electrógeno $G$, entonces usted puede probar que

$$\{[s,z]^g: s \in S, z \in S, g \in G\}$$

es un grupo electrógeno $[G,G]$.

Answer 2

Esto no es cierto en general. Supongamos $G$ es generado por un conjunto $S$ con sólo dos elementos. A continuación, $[S,S]$ sólo contiene dos elementos de identidad, inversa a la una de la otra, y por lo $\langle[S,S]\rangle$ será cíclico.

Pero, por ejemplo, el grupo simétrico $S_n$ es generado por un conjunto de dos elementos, pero su colector subgrupo $A_n$ no es cíclico si $n>3$.

Answer 3

Considere la posibilidad de $G=F_n$, el grupo de free en $n\ge 2$ generadores. A continuación, el colector de los subgrupos $C<G$ es normal, no trivial y de infinita índice. Por lo tanto, $C$ no puede ser finitely generado. He aquí la prueba:

Deje $N<F_n$ ser un trivial normal subgrupo de infinito índice. Darse cuenta de $G$ como el grupo fundamental de un número finito de gráfico de $X$. A continuación, $N$ es el grupo fundamental de un infinito regular de la cubierta de $X$. Esta cubierta tiene que ser un gráfico con infinito primer número de Betti (una vez que usted consiga un circuito, se mueve en torno al uso de cubierta de transformaciones para obtener una infinidad de distintos circuitos). Por lo tanto, $N$ ha abelianization de infinito rango y, por lo tanto, no puede ser finitely generado.

Un argumento similar se aplica a los grupos de superficies de género $\ge 2$.

Answer 4

Otro ejemplo de un finitely generado grupo $G = \langle S \rangle$ en el que el colector de subgrupo no es finitely generado es la corona del producto de dos infinito cíclico de los grupos, que es de 2-generado y metabelian.

Answer 5

Una similar pero la verdad es que $[G,G]/[G,G,G]$ es generado por (la imagen de) $[S,S]$.

Esto es sólo una reformulación de Mikko la respuesta. $[G,G] = \langle [g,h] : g,h \in G \rangle$ pero $g$ $h$ son productos de los elementos de $S \cup S^{-1}$, y de $$\begin{align*} [st,h] &=[s,h][s,h,t][t,h] \\ [g,st] &= [g,t][g,s][g,s,t] \\ [s^{-1},h] &= [h,s][h,s,s^{-1}] \\ [g,s^{-1}] &= [s,g][s,g,s^{-1}] \\ \end{align*}$$ tenemos que $[G,G]/[G,G,G] = \langle [s,t] [G,G,G] : s,t \in S \rangle$.

En otras palabras, para nilpotent grupos que usted puede hacer aproximadamente lo que quiera, donde "aproximadamente" tiene el significado estándar de modulo términos de una central de la serie (en la parte inferior central de la serie).