Acabamos de ver la resolución de congruencias lineales, y estoy confundido sobre cómo utilizarlas en las pruebas. Entiendo que la congruencia lineal $$cx \equiv b \pmod m$$ tiene una solución única $\bmod m$ si $\gcd(c,m) = 1$ pero se me escapa un enfoque general de los problemas.
Ejemplos de preguntas
Demostrar que si $x^2 \equiv n \pmod {65}$ tiene una solución, entonces también la tiene $x^2 \equiv -n \pmod {65}$ .
Demuestre que si $n \equiv 7 \pmod 8$ entonces $n$ no es la suma de tres cuadrados.
Mi trabajo
Para el primero, $x^2 \equiv n \pmod {65}$ implica que $65 | (x^2 - n)$ Así que (creo) eso significa que $n = b^2$ para algunos $b$ Así que $65 | (x^2 - b^2)$ . Demostramos un resultado que dice que si $a^2 \equiv b^2 \pmod p$ para algún primo $p$ entonces $a \equiv b$ o $a \equiv - b \pmod p$ . Sin embargo, no creo que ese sea el camino correcto a seguir aquí porque $65$ no es primo, y no estoy seguro de asumir $n = b^2$ para algunos $b$ .
Para la segunda, supongamos por el contrario que $n = a^2 + b^2 + c^2$ para algunos $a, b, c$ . Entonces $n \equiv 7 \pmod 8$ implica que $8 | (n - 7)$ así que $n = 8k + 7$ para algunos $k$ . Así que sustituyendo en me da $a^2 + b^2 + c^2 = 8k + 7$ y no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.
