Las anomalías y de corta distancia divergencias$.$

Question

Deje $J$ ser cierto Noether actual $$ J=J[\phi] $$ donde $\phi$ es un campo. Este objeto es el de la clásica conservado, a pesar de que en la mecánica cuántica caso puede ser anómalo.

En la integral funcional formalismo, el fracaso de $J$ a ser conservada está asociado a un no-trivial Jacobiana¹. Uno por lo general se encuentra $$ \langle \partial\cdot J\rangle=\langle Un[\phi]\rangle $$ donde $\langle\,\cdot\,\rangle$ indica una expectativa de valor, y $A[\phi]$ es la anomalía de la función (la traza del logaritmo de la Jacobiana de la transformación).

En el operador de formalismo, la anomalía tiene como operador de la ecuación, $$ \partial\cdot \hat J=A[\hat \phi] $$ donde $\hat J=J[\hat\phi]$.

La no conservación de $\hat J$ que se suele atribuir a su singular naturaleza². De hecho, un no-lineal del operador, la coincidencia espacio-tiempo puntos en su definición conducir a una $0\times\infty$ indeterminado, y uno debe introducir un regulador. Cuando el regulador se quita, por lo general se encuentra un no-cero finito contribución, que se identifica con $A[\hat\phi]$.

He aquí una paradoja, porque $A[\hat\phi]$ es generalmente no lineal en los campos, y por lo tanto incluye coincidiendo espacio-tiempo puntos también. En otras palabras, incluso si $\partial\cdot \hat J$ ha sido construida con un explícito regulador y tomando el límite con cuidado, una divergencia sigue siendo. Tomemos como ejemplo el quirales anomalía, donde $A\propto \hat F\wedge \hat F\cdots \wedge \hat F$. Aquí, $\hat F$ es un singular operador, de manera que la anomalía $A$ está mal definida. Todavía, $\partial\cdot\hat J$ supuestamente era finito.

¿Qué está pasando aquí? Cómo es esta paradoja se resuelve? ¿Cómo podemos hacer que el sentido de las singularidades en la anomalía de la función, cuando este objeto fue precisamente construido mediante la recopilación de las singularidades en $\hat J$ y la identificación de lo finito contribución como el regulador se quita?

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^{1: Véase, por ejemplo, de Weinberg QFT, Vol.II, §22.2. Véase también Peskin Y Shroeder, §19.1 (en particular, la discusión en torno a la ecuación 19.61 en la página 664).}

^{2: Véase, por ejemplo, Peskin Y Shroeder, §19.1 (en particular, la discusión en torno a la ecuación 19.22 en la página 655). Véase también Itzykson Y Zuber, §11-5-3 (en particular, la discusión en torno a la ecuación 11-229 en la página 559).}

Answer 1

Aunque el contacto términos pueden surgir cuando los operadores locales se multiplican, pero en el caso de la anomalía de término no. Cualitativamente, la razón para esto es que el contacto términos son sensibles a la corta distancia límite, y dependen del esquema de regularización.

Anomalías, por otro lado, sobrevivir el infrarrojo límite cuando el contacto términos de importancia y que son independientes del esquema de regularización. Más cuantitativamente, las anomalías pueden ser atribuidas a los no locales counterterms del tipo: $$\int d^4x \frac{\partial_{\mu} A^{\mu}}{\Box} F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta}$$ (Este término no es local, sino que su indicador de la variación local y genera la correcta anomalía en la actual divergencia). La inversa de Laplace suprime los rayos ultravioletas de la dependencia.