Tengo una pregunta sobre el Ejercicio 2-34 del libro Algebraic Curves de William Fulton. El ejercicio es el siguiente.
Supongamos que $F, G \in k[X_1, \dots , X_n]$ son formas (es decir, polinomios homogéneos) de grado $r$ y $r+1$ respectivamente, sin factores comunes (donde $k$ es un campo). Demuestra que $F + G$ es irreducible.
Estoy teniendo problemas tratando de demostrar esto. Primero, dado que $F, G$ son arbitrarios no puedo pensar en un criterio particular de irreducibilidad para aplicar aquí, así que mi única idea fue intentar por contradicción.
Notación
Utilizo la notación de Fulton para la homogeneización y deshomogeneización de un polinomio con respecto a la variable $X_{n+1}$. Si $f \in k[X_1, \dots , X_n]$ tiene grado $d$, entonces su homogeneización con respecto a $X_{n+1}$ se denota por $f^* = X_{n+1}^d f\left ( \frac{X_1}{X_{n+1}} , \dots , \frac{X_n}{X_{n+1}} \right)$.
De manera similar, si $F \in k[X_1, \dots , X_{n+1}]$ es homogéneo, entonces su deshomogeneización con respecto a $X_{n+1}$ se denota por $F_* = F(X_1, \dots , X_n, 1).
Mi intento
Así que supongo por contradicción que $F + G$ es reducible, entonces existen polinomios $H, R \in k[X_1, \dots , X_n]$ tales que $F + G = HG$ y también $ 0 < \deg{H},\deg{G} < r + 1$. Entonces la homogeneización es
$$(F + G)^* = X_{n+1} F + G = (HR)^* = H^* R^*$$
Ahora estoy algo atascado. He intentado jugar con esto pero sin suerte. Supongo que tal vez debería intentar llegar a una contradicción con la suposición de que $F$ y $G$ no tienen factores comunes, pero no sé cómo.
Mis preguntas
- ¿Cómo se puede demostrar esto?
- Si mi enfoque por contradicción es correcto, ¿cómo se puede terminar el argumento?
Como siempre, gracias por cualquier ayuda.
