Es el cálculo de la suma de los derivados "matemáticamente sonido"?

Question

Acabo de descubrir que si se toma el siguiente de la serie: $$1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdot \cdot \cdot = \sum_{n = 0}^\infty x^n$$ and replace each term in the series with the derivative of them, you'll get: $$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4$$ Which I think could simplify to this: $$\sum_{n = 0}^\infty \frac {d}{dx}x^n$$ The question about this is: Is it [mathematically] sound to compute a summation of derivatives (or differentials)? I'm asking this because it looks like it is sound in this case because we are adding up all the derivatives of $x^n$ until $x = \infty$. Así, es un sonido para calcular las sumas de los derivados?

Recordatorios sobre la Cuestión

He visto una pregunta relacionada con esto: infinita suma de los derivados de las convergente de la función, pero no, no me recibe a donde estoy apuntando. También he visto Cálculo de Sumatorias y Ayudar con derivados en el interior de una suma, pero no responde a mi pregunta.

Answer 1

Este tipo de cosas por lo general viene en el contexto de tratar de intercambio de la derivada con la suma: que es, que te gustaría tener

$$\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^\infty f_n(x) = \sum_{n=0}^\infty f'_n(x)$$

por analogía con el caso de la suma finita. Este intercambio puede fallar a veces. La mayoría de los criterios básicos que yo he oído es uno de los "cálculo avanzado criterios" (llamada así porque es enseñado en la licenciatura de análisis real y no tiene nombre famoso). Se requiere que el $\sum_{n=0}^\infty f'_n(x)$ converge uniformemente en $x$ (sobre el dominio en el que tiene el de la igualdad). Más leves existen criterios; por ejemplo, hay una variante basada en el teorema de convergencia dominada de teoría de la medida.

No estoy seguro de si esto contesta a tu pregunta porque no estoy seguro de lo que el "sonido" significa en este contexto.

Answer 2

Observe que $$ \sum_{n=2}^N \left( \frac {\sin((n+1)x)}{n+1} - \frac{\sin(nx)} n \right) = \frac{\sin((N+1)x)}{N+1} - \frac{\sin(2x)} 2 \longrightarrow \frac{-\sin(2x)} 2 \text{ como } N\to\infty $$ y así $$ \frac d {dx} \sum_{n=2}^\infty \left( \frac {\sin((n+1)x)}{n+1} - \frac{\sin(nx)} n \right) = \frac d {dx} \frac{-\sin(2x)} 2 = -\cos(2x). $$ Pero \begin{align} & \sum_{n=2}^N \frac d {dx} \left( \frac {\sin((n+1)x)}{n+1} - \frac{\sin(nx)} n \right) \\[8pt] = {} & \sum_{n=2}^N \left( \cos((n+1)x) - \cos(nx) \right) \\[8pt] = {} & \cos((N+1)x) - \cos(2x) \end{align} y para la mayoría de los valores de $x$ esto no convergen como $N\to\infty$. Por lo tanto $\dfrac d{dx} \sum\limits_n\cdots$ no es en todos los casos igual a $\sum\limits_n\dfrac d{dx}\cdots$.

Sin embargo, si la potencia de la serie $$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \tag 1 $$ converge en un intervalo de $(-R,R)$, entonces puede ser válidamente differentiatied término a término en ese intervalo. De esta manera se sigue, en parte, por el hecho de que la convergencia de $(1)$ es uniforme, y no necesariamente en el intervalo de $(-R,R)$, pero en cada intervalo de $(-R+a,R-a)$, no importa cuán pequeño $a>0$ es.

(Podría haber considerado tratando de incluir una prueba en esta respuesta, pero ya la hemos aceptado otra respuesta$\,\ldots$)