Cálculo de la inversa de un mapa de $CP^1$ $S^2$

Question

Dado el mapa: $$f:CP^1 \to S^2\ ,\ f[z:w] = \left(\frac{2\mbox{Re}(w\bar{z})}{|w|^2+|z|^2},\frac{2\mbox{Im}(w\bar{z})}{|w|^2+|z|^2}, \frac{|w|^2-|z|^2}{|w|^2+|z|^2}\right)$$

Cómo se podría ir sobre la construcción de una inversa? Yo he hecho algo similar en el pasado, cuando yo necesitaba encontrar la inversa de una proyección estereográfica, pero he usado métodos geométricos, y aquí estoy teniendo problemas para visualizar las cosas. He tratado de resolver este algebraicamente pero me parece que no puede separar a $z$ $w$ de sus conjugados.

Mi objetivo es demostrar que este mapa es un homeomorphism. Gracias

Answer 1

A la inversa, la cartografía es

$$g:S^2 \to CP^1: (\xi_1,\xi_2,\xi_3) \mapsto [z:w]=\frac{\xi_1-i\xi_2}{1+\xi_3} \; .$$

Todo lo que usted necesita es la proporción $[z:w]$. Así que establezca $|w|^2+|z|^2=w\bar{w}+z\bar{z}=1$ por el bien de la facilidad. A continuación, tenga en cuenta también que

$$\xi_1=2\mbox{Re}(w\bar{z}) = w\bar{z}+\bar{w}z$$

y

$$\xi_2=2\mbox{Im}(w\bar{z}) = -i(w\bar{z}-\bar{w}z)$$

y, finalmente,

$$\xi_3=w\bar{w}-z\bar{z} \; .$$

El uso de la última relación y nuestra condición vemos que

$$1+\xi_3 = 2w\bar{w}$$

mientras que la combinación de las relaciones de $\xi_1$ $\xi_2$ adecuadamente obtenemos

$$\xi_1-i\xi_2 = 2\bar{w}z$$

que después de la división de la anterior relación nos da la asignación.