Muestran que el $k$th adelante diferencia de $x^n$ es divisible por $k!$

Question

Definir el avance operador diferencia $$\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$$ Yo creo que si $f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, $\Delta^k f(x)$ es divisible por k!. Por la linealidad es suficiente con considerar un solo monomio $f(x) = x^n$. He comprobado esto para valores pequeños de a$n$$k$, y creen que una simple prueba de que debe de existir, pero soy incapaz de encontrarla.

En particular, la fuerza bruta da $$\Delta^k x^n = \sum_j x^{n-j} \left[ \binom{n}{j} \sum_i (-1)^{k-i} \binom{k}{i} i^j \right]$$ pero los términos entre paréntesis parecen no tener solución de forma cerrada (ver (20)-(25) de http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html).

Motivación: tengo un desconocido entero coeficiente polinomio de grado $n$ de la muestra a $x = 0, 1, \ldots, n$, y quieren demostrar que todos los resultados intermedios en el clásico dividido diferencia del algoritmo son enteros.

Answer 1

Por linealidad, es suficiente para probar esto de los polinomios $x(x - 1)\cdots(x - (n-1))$. Esto es sólo $n! {x \choose n}$. Una propiedad básica del operador diferencia es que $\Delta {x \choose n} = {x \choose n-1}$, del que se desprende que

$$\Delta^k x(x - 1)\cdots(x - (n-1)) = n! {x \choose n-k} = k! {n \choose k} x(x - 1) \cdots(x - (n-k-1))$$

y la conclusión de la siguiente manera.

Answer 2

Esta es realmente la misma respuesta que la de Qiaochu de Yuanes, pero creo que los "coeficientes binomiales de $x$", tanto como estoy de acuerdo con la notación, un poco de distracción, cuando junto a los coeficientes binomiales. Se puede hacer sin ellos, el uso de caer factorial poderes lugar: $x^\underline n=x(x-1)\ldots(x-n+1)$, que de hecho es el mismo que $n!\binom xn$. Elementarily $$ (x+1)^\subrayado n-x^\subrayado n=x^\underline{n-1}((x+1)-(x-n+1)) =nx^\underline{n-1}, $$ en otras palabras $\Delta(x^\underline n)=nx^\underline{n-1}$ (que debe recordar ordinario de cálculo), y $$ \Delta^k(x^\subrayado n)=n(n-1)\ldots(n-k+1)x^\underline{n-k} =k!\binom nkx^\underline{n-k}, $$ dan lo que queremos. Tenga en cuenta que resistí la tentación de escribir el coeficiente como $n^\underline k$ para evitar el tipo de distracción que he mencionado en la primera frase. También cada factor en la expresión es en $\Bbb Z[x]$.