Para un conjunto de matrices simétricas $A_i$ de orden p, muestran que si la suma de sus filas es p, $A_iA_j=0$

Question

Aquí es lo que yo sé.

Matrices de $A_i$ $i=1,...,k$ son todos simétrico de p por p matrices.

$\sum\limits_{i=1}^k A_i = I_p$ donde $I_p$ es el p por p matriz identidad

$\sum\limits_{i=1}^k rank(A_i) = p$

Con esto, tengo que encontrar una manera de mostrar que para todos los $i \neq j$, $A_iA_j=0$.

Supongo que esto es resuelto por mostrar que $rank(A_iA_j)=0$, pero todos los intentos que he hecho para hacer que no va a ninguna parte. Puede alguien me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

Sugerencia. El uso de la desigualdad $$ \operatorname{rango}(a+B+C) \le\operatorname{rango}(a+B)+\operatorname{rango}(C) \le \operatorname{rango}(A)+\operatorname{rango}(B)+\operatorname{rango}(C) $$ para mostrar que $\operatorname{rank}(A_i+A_j)=\operatorname{rank}(A_i)+\operatorname{rank}(A_j)$ y a su vez $\operatorname{col}(A_i)\cap\operatorname{col}(A_j)=0$ por cada $i\ne j$. Ahora, si las matrices reales simétricas, sus nulos espacios son ortogonales a sus espacios de columna.

Answer 2

Muy bien, entonces: Usted puede ver todos los de la Matriz, en forma lineal funktion que transforma la $R^p$ en un sub-Espacio Vectorial con la dimensión de su rango. La unión (me refiero a la Unión de Espacios Vectoriales que es igual a la Linar combinación no a la unión de los Conjuntos) de los planos( como voy a llamar a los sub-Espacios, incluso si ellos no tienen que ser planos en la forma habitual) tiene que ser el pleno espacio, ya que se necesita tener la Identidad de este espacio, que es igual a $I_p$ pero debido a que la suma de todas las filas tiene que ser la p la suma de todas las dimensiones tiene que ser la dimensión del agujero en el espacio. Por consiguiente, los pares de Intersección de dos Planos diferentes tiene que ser $\{0\}$.

Por lo tanto si usted transformar su espacio en un plano y, a continuación, en otro el resultado será el trivial sub-espacio que sólo contiene 0. Eso significa que por cada punto x, el resultado de la función lineal será 0. Esta es la función constante que puede ser representado por el 0 de la Matriz. El komposition de Transformaciones puede ser representado por una matriz de multiplicación. por consiguiente, los pares de la multiplicación de esas Matrices tiene que ser 0

Que fue una gran cantidad de texto.... en una prueba que tendría que hacerlo un poco más de una manera formal. pero creo que esto se entiende mejor que un extraño bijections