Acciones de comunidad

Question

He estado leyendo un poco sobre las acciones del grupo y si son fieles, libre y transitiva. Una pregunta que me he encontrado a los estados:

Considere el siguiente grupo de acciones

1) El grupo simétrico $S_n$ que actúa sobre un n-elemento del conjunto.

2) El grupo ortogonal $O(n)$ actuando en $\mathbb{R}^n$.

3) El grupo ortogonal $O(n)$ que actúa sobre el $(n-1)$-esfera $S^{n-1}$.

Cuál de estas acciones es fiel, transitiva o libre y lo que son el grupo de las órbitas?

Una acción explícita no está especificado, pero supuse que podríamos tomar el "obvio" de acción: 1) tomé $S_n$ permuting los elementos del conjunto y por 2) y 3) tomé $O(n)$ como rotaciones. Es esto correcto, o pueden los grupos de actuar sólo en un conjunto de una manera, de todos modos?

Va con estas acciones, pensé que 1) sean fieles como la única permutación que sale de un conjunto invariable es la identidad de permutación; transitiva como siempre se puede encontrar un bijection para enviar una permutación a otro; y libre como la única bijection que deja una permutación sin cambios es la identidad de permutación. La órbita sería todas las permutaciones posibles de $n$ elementos. Mi problema con esto es que aunque mis razonamientos para la fiel y libre parecen idénticos, por lo que no creo que mi tren de pensamiento es correcto.

Para 2) y 3), yo también no ver cómo lo están actuando en parece afectar a las características de la acción del grupo. ¿Qué tipo de cosas que necesito para pensar?

Answer 1

Recordemos la definición de fieles, transitiva y gratis:

La acción de un grupo de $G$ sobre un conjunto $X$ se llama:

Transitiva: si $X$ no está vacía y si por alguna $x,y\in X$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot x = y$.

Fieles (o efectivo): si para cualquiera de los dos distintos $g,h\in G$ existe $x\in X$ tal que $g\cdot x \neq h\cdot x$; o, equivalentemente, si por cualquier $g\neq e\in G$ existe $x\in X$ tal que $g\cdot x \neq x$. Intuitivamente, en un fiel grupo de acción, con diferentes elementos de $G$ de inducir diferentes permutaciones de $X$.

Libre: si, dada $g,h\in G$, la existencia de $x\in X$ $g\cdot x = h\cdot x$ implica $g = h$. De forma equivalente: si $g$ es un elemento de grupo y existe una $x\in X$ $g\cdot x = x$ (es decir, si $g$ tiene al menos un punto fijo), a continuación, $g$ es la identidad.

Ahora podemos determinar tu grupo de tres acciones:

La acción de la $S_n$ sobre un conjunto de $n$-elementos es como se mostró transitiva. También es fiel como lo explicó, pero no es gratis, porque hay elementos en $S_n$ que no tienen puntos fijos que no son la identidad, por ejemplo,$1\to 1, 2\to 3, 3\to 4, n-1\to n, n\to 2$. Ya que la acción es transitivo el grupo de órbitas es el grupo de un elemento.

La acción de la $O(n)$$S^{n-1}$, es transitiva, ya que siempre hay una rotación que puede enviar a cualquier punto de $S^{n-1}$ sobre el polo norte. Para $n>2$, no es libre, ya que para cualquier punto en $S^{n-1}$ hay muchas rotaciones diferente de la identidad, cuyo eje de rotación es la recta que pasa por ese punto y el origen, y todos estos arreglar ese punto. No es fiel ni desde cualquier elemento de $O(n)$ que no es la identidad se mueve $S^{n-1}$, por lo tanto, existe un punto en $S^{n-1}$ que no se fija por la acción. Ya que la acción es transitivo el grupo de órbitas es el grupo de un elemento. El caso de $n=2$ la acción es transitiva, gratis, pero no fiel.

La acción de la $O(n)$ $\mathbb{R}^n$ no es libre, ya que cada elemento de a $O(n)$ corrige el origen, pero no es necesariamente la identidad. No es transitiva, ya que para los dos elementos de la $\mathbb{R}^n$ cuya longitud no son iguales, no se puede encontrar un elemento de $O(n)$ que envía a uno sobre el otro (los elementos de $O(n)$ preservar la norma). No es fiel ni desde cuando se restringe la acción de a $S^{n-1}$ no es fiel. Desde $\mathbb{R}^n=[0,\infty)\times S^{n-1}$ el conjunto de órbitas pueden ser identificados con $[0,\infty)$ desde cuándo $O(n)$ es restringido para el segundo factor es transitiva.

Answer 2

Creo que su suposición sobre la "obvia" la acción es irregular. Tenga en cuenta que, en general, se debe especificar la acción a menudo hay diferentes acciones. (La rama de la teoría de la representación, en muy simplificado sentido, existe para responder a la pregunta "żde cuántas maneras puede un grupo de actuar en un espacio vectorial").

Tienes razón en que 1) si los fieles y su razón es bien. Pero cuando usted dice que es transitiva porque "siempre se puede encontrar un bijection para enviar una permutación a otro", tenga en cuenta que la acción de la $S_n$ no no "enviar una permutación a otro", sino más bien, envía un elemento de su $n$-elemento del conjunto a otro. Que dijo que sí, que la acción es transitiva.

Una acción transitiva es raramente gratis - en particular, en este caso, no (excepto cuando se $n\leq 2$): Dado cualquier $p$ en la $n$ elemento de la serie, hay un montón de elementos de $S_n$ que arreglar $p$ y sólo se mueven alrededor de los otros puntos. De hecho, la isotropía de los subgrupos en $p$ es isomorfo a $S_{n-1}$.

Para su declaración acerca de las órbitas, de nuevo, la órbita no constan de un subconjunto de a $S_n$, pero en lugar de un subconjunto de su $n$ elemento del conjunto. Para responder a esto, trate de probar que una acción es transitiva iff la órbita a través de cualquier punto es la totalidad del espacio intervenido.

Para 2) y 3), he aquí una situación hipotética de relieve cómo el conjunto está actuando en afecta a las cosas. (Si desea mantener un ejemplo concreto en mente, aplicar lo que voy a decir a $G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{1,-1\}$ bajo la multiplicación que actúa sobre el conjunto de $X = \{-1,0,1\}$ por multiplicación.)

Supongamos $G$ actúa en $X$ y quiere comprobar si esta acción es libre, es decir, que el único elemento de $G$ que corrige cualquier punto de $X$ es la identidad en $G$. Una manera de demostrar que este es un vistazo a cada elemento de a $X$ uno en un momento y preguntar "¿Qué $g\in G$ corrige este elemento?" Mientras que la respuesta siempre es "sólo $g = e$", la acción es libre.

Supongamos que comprobar cada punto, pero a uno y seguir buscando la respuesta es "sólo $g= e$" por lo que la acción está en busca gratis. Luego de comprobar que el último punto ($0\in X$ en el ejemplo concreto) y encontrar "cada elemento de g corrige este punto!" Bien, entonces la acción no es libre, woops.

Pero, desde $G$ corrige este "mal" punto, también debe preservar el resto de puntos: si $y\in X$ es no es el punto malo, a continuación, $gy$ no es el punto malo, para cualquier elección de $g\in G$. Por lo tanto, $G$ también actúa sobre un subconjunto de a $X$ y la acción en este subconjunto es libre. Así, no es libre de acción, cuando se restringe de forma adecuada, puede llegar a ser libres.

En el caso de la restricción de la $O(n)$ acción de$\mathbb{R}^n$$S^{n-1}$, nada tan drástico suceda, pero aún así hay al menos dos cambios - la acción en $\mathbb{R}^n$ tiene un punto fijo y es intransitiva, mientras que la acción en $S^{n-1}$ no tiene un punto fijo y es transitiva.