Es un fallo del Consejo.

Question

Me gustaría entender las anomalías desde el punto de vista de la cuantización canónica. El teorema de Noether afirma que, dado un continuo de simetría de la Lagrangiana, existe una función de P en el espacio de fase que satisface \begin{equation} \frac{dQ}{dt} = \{Q,H\}_{PB} = 0 \end{equation}

En virtud de cuantización canónica, se sigue que

\begin{equation} i\hbar\frac{d\textbf{Q}}{dt} = [\textbf{Q},\textbf{H}] = 0 \end{equation}

tiene como operador de la ecuación donde: $\textbf{Q}$ $\textbf{H}$ son operadores definidos por la costumbre de la prescripción. La declaración de la anomalía puede ser expresado como \begin{equation} \frac{d\textbf{Q}}{dt} \neq 0 \end{equation}

como operadores en la teoría cuántica, la cual parece estar en desacuerdo con la cuantización canónica de la prescripción. Podría este problema se aclaró?

Answer 1

La sustitución de los corchetes de Poisson por los conmutadores de por sí no es todavía una de cuantización. Cuantificación debe incluir una receta de cómo asignar las funciones en el espacio de fase de operadores en el espacio de Hilbert.

Por ejemplo, en el caso de los planos del espacio de fase $\mathbb{R}^n$ con el simpléctica canónica de la estructura y coordina $\{ q_i, p_i \}$, $i=1, ., ., ., n$. Tenemos, por ejemplo, la Weyl esquema de cuantización en la que vamos a reemplazar polinomios en $q$ $p$ por un simétrico versión, por ejemplo, $qp$ es cuantificada como $\frac{1}{2} (\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q})$, etc.

En el mismo espacio, también tenemos la normal de ordenar lo que es un diferente esquema de cuantización :funciones no se asignan a los mismos operadores bajo los dos esquemas. (Es cierto, sin embargo, que para un finito $n$, los dos cuantizaciones son unitarily equivalente, pero este no es un resultado general).

La normal de ordenar esquema tiene una ventaja que hace que el Hamiltoniano delimitada desde abajo, lo que es favorecido en muchos casos.

Cualquier cuantización sufre de la Groenewold-Van Hove incoherencias (por favor, véase, por ejemplo, la siguiente revisión por: Curtright, Fairlie, y Zachos) así que sólo podemos exigir que los corchetes de Poisson pasar a los conmutadores a términos con potencias mayores de $\hbar$. Las anomalías son solo de este tipo de correcciones.

Una vez, un esquema de cuantización está seleccionada, es posible obtener las anomalías dentro de cuantización canónica (en el Hamiltoniano de la imagen).

Por ejemplo, un 1+1 teoría de la con $n$ de las especies de fermiones quirales: $$\mathcal{I} =\int dt \int dx \sum_i^n \bar{\psi_i}(x) \gamma^{\mu}\partial_{\mu} \psi_i(x)$$ tiene un $U(n)$ global de Simetría

Si suponemos que el normal de ordenar la prescripción para la cuantificación de la Noether de los cargos de la $U(n)$ simetría: $$\hat{T} = \int dx :\psi_i^{\dagger}(x)T_{ij}\psi_j(x):$$ entonces la corriente de álgebra se obtiene la Schwinger plazo derivados de la quirales anomalía:

$$[\hat{T_1}, \hat{T_2}] = \widehat{[T_1, T_2]} + \frac{1}{2\pi} \mathrm{tr}(T_1, T_2)$$

Hamilton métodos no son muy populares en las dimensiones superiores, pero, sin embargo, Dunne y Trugenberger fueron capaces de encontrar un esquema de cuantización, se llama cinética normal de ordenar, en el que el orden es según la energía cinética de los autovalores para obtener el quirales anomalía en 3+1 dimensiones.

Así, en resumen, no hay ningún fallo en la cuantización canónica con respecto a las anomalías.