Integral de cierre de $\tilde{A}$ es plano sobre a$A$, $A$ es integralmente cerrado

Question

Pregunta. Deje $A$ integrante de dominio y $\tilde{A}$ ser integral, en el cierre en el campo de fracciones de $K$. Suponga que $\tilde{A}$ es un finitely generadas $A$-módulo. Quiero demostrar que si $\tilde{A}$ es plano sobre a$A$, $A$ es integralmente cerrado.

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Pensé en el hecho siguiente podría ser útil:

Hecho: Vamos a $A$ integrante de dominio y $K$ ser su campo de fracciones. También vamos a $B$ ser un finitely generadas $A$-submódulo de $K$. A continuación, $B$ plano iff $B$ es localmente libre de rango $1$.

Por lo anterior hecho, creo que podemos asumir que $\tilde{A}$ es localmente libre de rango $1$, es decir, $\tilde{A}_{\mathfrak{p}}$ es libre de rango $1$ $A_\mathfrak{p}$ por cada primer ideal $\mathfrak{p}$$A$. Sin embargo, no creo que esto podría implicar que $A=B$ pero no sé cómo usar el hecho de que $\tilde{A}$ es la integral de cierre de $A$.

Answer 1

Deje $A\subseteq B$ ser una extensión de la integral de dominios que $B_{\mathfrak p}=x_{\mathfrak p}A_{\mathfrak p}$ por cada primer ideal $\mathfrak p$ $A$ y algún elemento $x_{\mathfrak p}\in B_{\mathfrak p}$. A continuación, $x_{\mathfrak p}$ es invertible en a $B_{\mathfrak p}$ y, por tanto,$B_{\mathfrak p}=A_{\mathfrak p}$. Entonces uno se pone

$B\subseteq\bigcap\limits_{\mathfrak p} B_{\mathfrak p} =\bigcap\limits_{\mathfrak p} A_{\mathfrak p}=A$.