Estimación a la baja para $(\frac{\ln(1+2x)}{\ln(1+x)}-1)(1+2x)^{1/2}$ donde $x>0$

Question

Quiero demostrar que: $$\left(\frac{\ln(1+2x)}{\ln(1+x)}-1\right)(1+2x)^\frac{1}{2}\geq 1$$ donde $x>0$. Cualquier ayuda es apreciada. Gracias!

Answer 1

He aquí una no muy buena solución.

Como $x > 0$, es equivalente a demostrar que $$\log\left(1 + \frac{x}{1 + x}\right)\sqrt{1 + 2 x} - \log(1 + x) \geq 0.$$ Como LHS $\rightarrow 0$$x\rightarrow 0$, es suficiente para demostrar que el lado izquierdo está aumentando como una función de la $x$. Es decir, que su derivada es mayor que $0$$x > 0$. La diferenciación, obtenemos la desigualdad $$\frac{1 - \sqrt{1 + 2 x} + (1 + x) \log\left(1 + \frac{x}{1 + x}\right)}{(1 + x) \sqrt{1 + 2 x}} \geq 0.$$ Por supuesto que es suficiente para demostrar que $$1 - \sqrt{1 + 2 x} + (1 + x) \log\left(1 + \frac{x}{1 + x}\right)\geq 0.$$ Por el mismo argumento (es decir, limitar al$x\rightarrow 0$$0$, por lo que es suficiente para mostrar el lado izquierdo está aumentando como una función de la $x$), la diferenciación, es suficiente para demostrar que $$\frac{1}{1 + 2 x} - \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \log\left(1 + \frac{x}{1 + x}\right) \geq 0.$$ Por el mismo argumento de nuevo (lo siento!), es suficiente para demostrar que $$\frac{1 - \sqrt{1 + 2 x} + x (3 + 2 x)}{(1 + x) (1 + 2 x)^{\frac{5}{2}}} \geq 0.$$ Por lo que es suficiente para mostrar que $$1 - \sqrt{1 + 2 x} + x (3 + 2 x) \geq 0.$$ Pero esto es fácil!