$|ab-cd|=1$ para el tablero de ajedrez infinito

Question

Un tablero de ajedrez es infinito en todas las direcciones. Nos escribe un entero en cada célula negro. A partir de entonces, para cada celda blanca $W$, vamos a $a,b$ ser los dos números en los dos células adyacentes horizontalmente a $W$, e $c,d$ ser los dos números en los dos negros vertical de celdas adyacentes a $W$.

Es posible que $|ab-cd|=1$ para todos los glóbulos blancos?

Si fuera posible, creo que sería a través de la repetición de patrones en el sentido de que en repetidas ocasiones el mismo bloque de las células de todo el tablero de ajedrez. Entonces, no sería suficiente para demostrar que el $|ab-cd|=1$ condición se mantiene en las células en este patrón, junto con las adyacentes a la siguiente bloque.

Answer 1

Lema 1. Si en una matriz cuadrada de reemplazar la primera fila con la suma entre la primera y segunda fila, su determinante sigue siendo la misma.

Lema 2. Si $\frac{p_n}{q_n}$ $\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$ son dos consecutivos convergents de la continuación de la fracción de $\alpha$, $$\det\begin{pmatrix}p_n & p_{n+1} \\ q_n & q_{n+1}\end{pmatrix}\in\{-1,+1\}$$

A partir de ahora, vamos a filas ser negro diagonales en el original tablero de ajedrez.

Lema 3. Por El Lema 1,

$$\begin{array}{l} \ldots\verb \76543234567\\ldots\\ \ldots\verb \65432123456\\ldots\\\ldots\verb \11111111111\\ldots \\\ldots \verb \65432123456\\ldots\\ \ldots\verb \76543234567\\ldots\\ \end{array}$$

obras. Para ser claros, el anterior y el siguiente filas están dados por: $$\ldots \verb \13 11 9 7 5 3 5 7 9 11 13 \ \ldots$$

pero el patrón de repetición $$\begin{array}{l} \ldots\verb \11111111111\\ldots\\ \ldots\verb \21212121212\\ldots\\\ldots\verb \11111111111\\ldots \\\ldots \verb \21212121212\\ldots\\ \ldots\verb \11111111111\\ldots\\ \end{array}$$ funciona igual de bien.

Otra interesante posibilidad es dada por colocar el número Fibonacci $F_{i+j}$ en la posición $(i,j)$ - la extensión de la secuencia de Fibonacci a la negativa de los índices se da, como de costumbre, por la relación $F_n=F_{n+2}-F_{n+1}$, por lo que el $F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n$. Esto funciona por el Lema 2 o Lema 1.