Considere la posibilidad de un vértice-transitiva convexo polytope con una faceta que contiene más de la mitad de todos los vértices. ¿Ya tiene que ser un simplex, o existen otros ejemplos?
Estoy interesado en particular en el caso de que incluso los afín grupo de simetría de la polytope actúa transitivamente en sus vértices, es decir, estamos hablando de una órbita polytope.
Gracias de antemano!
Cada borde de un triángulo contiene todos pero uno de los vértices. Cada cara de un tetraedro contiene todos pero uno de los vértices. Cada $(n-1)$-frente a un $n$-simplex contiene todos pero uno de los vértices.
Cada borde de p square contiene la mitad de los vértices. Cada cara de un cubo que contiene la mitad de los vértices. Cada $(n-1)$-frente a un $n$-cubo contiene la mitad de los vértices.
¿Hay algo entre el triángulo y el cuadrado?
Sí! El doble de la cíclico polytope puede ser un ejemplo, si los parámetros están bien elegidos.
Mi conocimiento de esta combinatoria ejemplo se debe a Carl Lee; la (mala) exposición es debido únicamente a mí.
El polytope es de 4 dimensiones y su combinatoria automorphism grupo actúa vértice transitivamente. No estoy seguro de si el estándar de la incrustación como el casco convexo de los puntos de el momento en que la curva tiene plena combinatoria automorphism grupo.
Además, yo no soy especialmente versado en esta área, por lo que yo describo en doble forma primero:
Para cada par de enteros positivos $n$ $k$ $k\geq 2n$ definir un polytope $P_{n,k}$ $2n$- dimensiones (resumen) polytope con los vértices de los enteros $\{1,2,\dots,k\}$ mod $k$ y la máxima facetas ($(2n-1)$-caras) dado por $2n$-conjuntos de la forma $$\bigcup_{i=1}^n \{ a_i, a_i +1 \}$$ for integers $a_i$ taken mod $k$ such that result really does have $2n$ elementos.
No es difícil de contar, a $\binom{k-n}{n} + \binom{k-n-1}{n-1}$ de ellos, y exactamente $2\binom{k-n-1}{n-1}$ de ellos contienen el vértice $1$. El grupo cíclico $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ actos vértice transitivamente en el polytope actuando regularmente (por adición) en los vértices. Este polytope completo del grupo de simetría es generalmente el diedro grupo de orden $2k$ actuando en forma natural en el $k$ puntos, pero a veces es más grande.
El polytope en cuestión es el doble polytope, donde $n$ $k$ se eligen de manera que la desigualdad de las obras.
Específicamente, $n=2$ (4 dimensiones) y $k=6$ da vértices $\{1,2,3,4,5,6\}$ y la máxima facetas $\left\{ \{1,2,3,4\}, \{1,2,4,5\}, \{1,2,5,6\}, \\~~~ \{2,3,4,5\}, \{2,3,5,6\}, \{2,3,6,1\}, \\~~~ \{3,4,5,6\}, \{3,4,6,1\}, \{4,5,6,1\} \right\}$
Este polytope tiene 9 facetas, y cada vértice está contenida en 6 máxima facetas.
El doble polytope tiene 9 vértices, y cada uno de máxima restricción contiene 6 vértices. (Yay!)
La combinatoria automorphism grupo de la cíclico polytope es una corona de producto $$S_3 \wr S_2 = \langle (1,3,5), (1,3), (1,2)(3,4)(5,6) \rangle$$ y uno puede comprobar explícitamente que actúa transitivamente sobre la máxima facetas. Por lo tanto, en el doble, la combinatoria automorphism grupo vértice es transitiva.
Lo siento, no podía hacer este comentario porque no tengo suficiente reputación, pero aquí es un esquema:
Para cualquier dimensión $n$, inicie con el simplex de esa dimensión. El número de vértices en cualquier característica del simplex se $n$, con un número total de vértices $n+1$. Ahora agregue suficiente vértices en orden a alcanzar la siguiente más simple de vértice transitiva convexo polytope. A medida que usted continúa este proceso, el número total de vértices aumenta monótonamente y más rápido que el número de vértices por entidad. Así que para la dimensión de $n=2$ o más, esto significa que debe haber un simplex dadas sus condiciones. Estoy seguro acerca de los detalles con $n=0$ o 1.
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