Reclamo: (El de arriba).
Prueba: en Primer lugar, observe que
\begin{eqnarray}
xy + yz + zx - 2xyz &=& xy(1 - z) + yz(1-x) + zx(1-y) + xyz\\
&=& xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x) + xyz
\end{eqnarray}
desde $x + y + z = 1$; ya que podemos re-escribir nuestra expresión original como una suma de todos los términos positivos, claramente nos han
$$0 \le xy + yz + zx - 2xyz$$
que fue la primera parte de la reclamación. Para la segunda parte, lo primero que note que
$$\frac{1}{3}(x + y + z)^3 = \frac{1}{3}(x^3 + y^3 + z^3) + (x + y + z)(xy + yz + yz) -xyz;$$
desde $x + y + z = 1$, obtenemos
\begin{eqnarray}
\frac{1}{3} = \frac{1}{3}(x^3 + y^3 + z^3) + [(xy + yz + yz) -2xyz] + xyz,
\end{eqnarray}
por lo que podemos re-escribir nuestra desigualdad original como
$$\frac{1}{3} - \frac{1}{3}(x^3 + y^3 + z^3) - xyz \le \frac{7}{27}$$
o, igual de bien,
$$ \frac{1}{3}(x^3 + y^3 + z^3) + xyz \ge \frac{2}{27}.$$
Ahora, por desgracia, viene una ola de álgebra, que yo no se hacer aquí. (Me acaba de mostrar los resultados, que he comprobado cuidadosamente varias veces).
Dejamos $x = \frac{1}{3} + p, y = \frac{1}{3} + q, z = \frac{1}{3} + r$. Es importante que hayamos $p + q + r = 0$.
Después de una ola de álgebra, nuestra desigualdad puede ser re-escrita como
\begin{eqnarray} \frac{2}{27} + (p^3 + q^3 + r^3) + (p^2 + q^2 + r^2) + \frac{1}{3}(pq + pr + qr) + pqr &\ge& \frac{2}{27} \\ \iff (p^3 + q^3 + r^3) + (p^2 + q^2 + r^2) + \frac{1}{3}(pq + pr + qr) + pqr \ge 0. \end{eqnarray}
Recuerdo que me apuntó anteriormente (con $x, y,$ $z$ como las variables) que
$$\frac{1}{3}(p + q + r)^3 = \frac{1}{3}(p^3 + q^3 + r^3) + (p + q + r)(pq + pr + qr) -pqr;$$
podemos por tanto concluir que $pqr = \frac{1}{3}(p^3 + q^3 + r^3)$. Del mismo modo, la expansión de $(p+q+r)^2$ rendimientos $pq + pr + qr = -\frac{1}{2}(p^2 + q^2 + r^2)$. Sustituyendo, vemos que
\begin{eqnarray} (p^3 + q^3 + r^3) + (p^2 + q^2 + r^2) + \frac{1}{3}(pq + pr + qr) + pqr \ge 0 \\ \iff \frac{4}{3}(p^3 + q^3 + r^3) + \frac{5}{6}(p^2 + q^2 + r^2) \ge 0 \end{eqnarray}
Finalmente, obtenemos el equivalente a la desigualdad vamos a hacer un stand con:
$$ 5(p^2 + q^2 + r^2) + 8(p^3 + q^3 + r^3) \ge 0. \qquad(*) $$
Ahora, ya casi hemos terminado. Sólo necesitamos considerar los signos de $p, q,$$r$. WLOG, debemos tener
(1) $p, q, r > 0$,
(2) $p, q > 0$$r <0$,
(3) $p > 0$$q, r <0$, o
(4) $p, q, r < 0$.
(Ignoramos el caso de que cualquiera de $p, q,$ o $r$ son cero porque - como $p + q + r = 0$ - la desigualdad de $(*)$, entonces se convierte en trivial.) Claramente, (1) y (4) es imposible (desde $p + q + r$ deben sumar a algo distinto de cero en esos casos). Consideremos el caso (3): si $p$ $q$ son negativos, entonces, a fin de que $p + q + r = 0$, debemos tener $0 < |p|, |q| < |r|$. Pero, a continuación,$|p|^3 + |q|^3 < |r|^3$, y por lo $(p^3 + q^3 + r^3)$ es positivo; la desigualdad de $(*)$, claramente tiene.
Así, el único caso que preocuparse es de (2). En ese caso, señalando, por supuesto, que $p + q = -r$, y también que $-\frac{1}{3} \le r$ (desde $x,y $ $z$ fueron positivos) y, por tanto,$p, q < p + q \le \frac{1}{3}$,
\begin{eqnarray} 5(p^2 + q^2 + (p+q)^2) + 8(p^3 + q^3 - (p+q)^3) &=& 10(p^2 + q^2 + pq) - 24(p^2q + q^2p)\\
&=& 10pq + p^2(10 - 24q) + q^2(10 -24p)\\ &\ge& 10pq + p^2(10 -24(\frac{1}{3})) + q^2(10 -24(\frac{1}{3}) \\ &=& 10pq + 2p^2 + 2q^2 \ge 0. \end{eqnarray}
Por lo tanto, la desigualdad de $(*)$ está probado en todos los casos; y así es la desigualdad de $xy + yz + zx - 2xyz \le \frac{7}{27}$. El reclamo de la siguiente manera.
