Las ecuaciones habituales de Maxwell son para 3 dimensiones espaciales, ¿verdad?
¿Es posible generalizarlos a 2 dimensiones espaciales o a 4 dimensiones espaciales?
La ecuación de Maxwell puede darse en la forma $$\text dF = 0$$ $$\text d\star F + J = 0$$ donde $F$ es una 2 forma y $J$ un $n-1$ -(una densidad de corriente) que, en principio, se puede generalizar a cualquier variedad (por razones físicas, se pueden considerar variedades pseudo-riemannianas con firma $(+,-,\cdots,-)$ ). En la teoría cuatridimensional se suele establecer $G:=\star F$ que también es una 2 forma y tiene una clara interpretación física en términos de campo eléctrico y magnético. En dimensiones superiores o inferiores se convierte en una $(n-2)$ -y que yo sepa no hay una interpretación clara de los muchos "componentes" de $G$ en estos otros casos.
En cuanto a las soluciones, si las hay, el comportamiento que presentan debería depender fuertemente del número de dimensiones (como muestra el ejemplo clásico de la ecuación de Laplace en diferentes dimensiones).
Sería bueno mencionar si las soluciones de esas dos ecuaciones están tan determinadas como en el caso 4D (es decir, hasta una solución de la $n$ -ecuación de onda dimensional) o si abren más libertad de la que uno esperaría ingenuamente.
Es una pregunta interesante, pero no sé la respuesta con la cabeza. A medida que la dimensión aumenta, yo esperaría que la libertad de calibre aumentara, pero habría que comprobarlo.
Se pueden generalizar las ecuaciones de Maxwell a un número arbitrario de dimensiones utilizando la versión en forma tensorial o diferencial, ya que el formalismo vectorial no ayuda demasiado (Por ejemplo, en dos dimensiones, el campo magnético es un (pseudo) campo escalar, no un campo vectorial). Las ecuaciones son entonces :
$\partial_\alpha F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^\beta$
o
$d\star F = \mu_0 J$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/21678/2451 , physics.stackexchange.com/q/104008/2451 y los enlaces que contiene.
0 votos
Roger Penrose ofrece una hermosa descripción intuitiva de la respuesta de Phoenix87 en el capítulo 19 de "Road to Reality".