Yo soy un físico estudiando ahora algunos supersimétricas sigma modelos. Mi pregunta, sin embargo, pueden ser reformuladas en una puramente lenguaje matemático: Un trenzado de de Rham complejo que involucra $d_W = d + dW \wedge $ donde $W$ es cualquier dimensiones formulario. En todos los conocidos para mí casos la cohomologies de este complejo son los mismos que para la torsión. Se puede afirmar que siempre es así ? Si sí, ¿dónde está probada ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Chris Benard
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Yo no había oído hablar de esta definición de twisted deRham cohomology antes de leer esto (yo había oído hablar de el en esta pregunta, pero parecen ser diferentes) así que no tengo plena confianza en este. Yo reclamo que la respuesta es "sí" a una pregunta que espero es equivalente a:
Deje $X$ ser un suave colector. La definición habitual de $H^i_{DR}(X)$ está cerrada "$i$- formas modulo exacto $i$-formas". En otras palabras, se encarga de las $i$-formas asesinado por $d$ y el cociente por $i$-formas de la forma $d \theta$ $\theta$ $(i-1)$- forma.
Aquí está la definición análoga en su configuración. Deje $\Omega^{even}$ $\Omega^{odd}$ ser los espacios de pares e impares formas. Deje $d_W(\alpha) = d \alpha + (d W) \wedge \alpha$. Definir un formulario para ser $d_W$-cerrado si es asesinado por $d_W$, e a se $d_W$-exacto si es de la forma $d_W(\theta)$ algunos $\theta$. Voy a mostrar que el espacio de $d_W$-formas cerradas, módulo del espacio de $d_W$-exacto formas, tiene dimensión independiente de $W$.
Conjunto $$e^W = \sum \frac{W^k}{k!}.$$ Si $W$ no $0$-componente de formulario, entonces esta suma sólo tiene un número finito de términos, porque lo suficientemente altos poderes de $W$$0$; si hay un $0$-la forma en la $W$, entonces la suma anterior es todavía convergente.
Observar que $d (e^W) = e^W dW$. Este crucialmente de los usos que $W$ es aún, por lo $W$ $dW$ viaje. (Si $W$ eran puramente impar, esto también sería cierto, pero si $W$ fueron una mezcla de pares e impares partes, entonces no tiene por qué ser cierto.)
Así $$d \left( e^W \alpha \right) = e^W dW \alpha + e^W d \alpha = e^W d_W \alpha \quad (\ast)$$ el uso que de nuevo ese $e^W$ es incluso.
Por lo $\alpha$ $d_W$- cerrado si y sólo si $e^W \alpha$ $d$- cerrado y $\alpha$ $d_W$- exacta si y sólo si $e^W \alpha$ es exacta. Para que podamos identificar el espacio de $d_W$-formas cerradas módulo del espacio de $d_W$-exacto formas con el espacio de $d_W$ formas módulo del espacio de $d_W$ formas multiplicando por $e^W$.
Ahora, en el ordinario deRham cohomology teoría, una muestra de que el complemento ortogonal a la $d$-exacto formas es el núcleo de $d^{\dagger}$. Así, en lugar de quotienting $\mathrm{Ker}(d)$$\mathrm{Image}(d)$, uno puede en lugar de tomar la intersección $\mathrm{Ker}(d) \cap \mathrm{Ker}(d^{\dagger})$. Es esto también es cierto para$d_W$$d_{W}^{\dagger}$ ? En ese caso, la definición con la que estoy trabajando es la misma que la suya.
