Número de no negativo de soluciones integrales de $3x+y+z \leq 25$

Question

Encontrar el número de no negativo de soluciones integrales de $$3x+y+z \leq 25$$

Puedo obtener la respuesta a $3x+y+z=25$ pero no puedo obtener la respuesta con la desigualdad. Por favor, ayudar.

Answer 1

La generación de la función de enfoque es que este es el coeficiente de $x^{25}$ en la:

$$\frac{1}{(1-x)^3(1-x^3)}$$

La cual puede escribirse como:

$$\frac{(1+x+x^2)^3}{(1-x^3)^4}=(x^6 + 3 x^5 + 6 x^4 + 7 x^3 + 6 x^2 + 3 x + 1)\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+3}{3}x^{3j}$$

Por lo que el coeficiente de $x^{25}$ es:

$$3\binom{11}{3}+6\binom{10}{3}$$

De manera más general, el número de soluciones a $3x+y+z\leq 3n-2$ es:

$$3\binom{n+2}{3}+6\binom{n+1}{3}=\frac{3n^2(n+1)}{2}$$

El número de soluciones a $3x+y+z\leq 3n-1$ es:

$$6\binom{n+2}{3}+3\binom{n+1}{3}=\frac{3n(n+1)^2}{2}$$

El número de soluciones a $3x+y+z\leq 3n$ es:

$$\binom{n+3}{3} + 7\binom{n+2}{3}+\binom{n+1}{3}=\frac{(n+1)(3n^3+6n+2)}{2}$$

Answer 2

Set $t\in\{0,1,2,\cdots\}$, $$3x+y+z+t=25$$ Desde $x\in\{0,1,\cdots,8\}$ $y+z+t=25-3x$ y hemos $$\sum_{x=0}^{8}\binom{25-3x+3-1}{2}$$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

El número de soluciones de $\ds{\,\mc{S}_{s}}$ $\ds{3x + y + z = s}$ $\ds{\pars{~\mbox{con}\ x,y,z\ \en\ \mathbb{N}_{\geq 0}\ \mbox{y}\ s \geq 0~}}$ está dada por:

\begin{align} \mc{S}_{s} & \equiv \bracks{t^{s}}\sum_{x = 0}^{\infty}t^{3x} \sum_{y = 0}^{\infty}t^{y}\sum_{z = 0}^{\infty}t^{z} = \bracks{t^{s}}{1 \over \pars{1 - t^{3}}\pars{1 - t}^{2}} \\[5mm] & = \bracks{t^{s}}\sum_{i = 0}^{\infty}t^{3i} \sum_{j = 0}^{\infty}{-2 \choose j}\pars{-t}^{j} = \bracks{t^{s}}\sum_{i = 0}^{\infty}\sum_{j = 0}^{\infty} \pars{j + 1}\sum_{k = 0}^{\infty}\delta_{k,3i + j}\,t^{k} \\[5mm] & = \bracks{t^{s}}\sum_{k = 0}^{\infty}\bracks{\sum_{i = 0}^{\infty}\sum_{j = 0}^{\infty}\pars{j + 1}\delta_{k,3i + j}}t^{k} = \sum_{i = 0}^{\infty}\sum_{j = 0}^{\infty}\pars{j + 1}\delta_{s,3i + j} = \sum_{i = 0}^{\left\lfloor s/3 \right\rfloor}\pars{s - 3i + 1} \end{align}

El número de soluciones con $\ds{3x + y + z \leq 25}$ $\ds{\pars{~\mbox{with}\ x,y,z\ \in\ \mathbb{N}_{\geq 0}~}}$ está dada por:

\begin{align} \sum_{s = 0}^{25}\mc{S}_{s} & = \sum_{s = 0}^{25}\sum_{i = 0}^{\left\lfloor s/3\right\rfloor}\pars{s - 3i + 1} = \bbx{\ds{1215}} \end{align}