La evaluación de $\cos(A+B)$, determinado $\cos A$ $\sin(B)$

Question

Hallar el valor exacto:

Encontrar $\cos(A+B)$ que $\cos A=1/3$, $A$ en el primer cuadrante, y $\sin B = -1/4$, $B$ en el cuarto cuadrante.

Answer 1

Recuerde que el coseno representa adyacente sobre hipotenusa, y sine representa opuesto sobre la hipotenusa.

$\sin (A) = -\dfrac {1}{4} $ es por lo tanto nos dice que tenemos un triángulo con un lado de longitud de uno, y una hipotenusa de longitud cuatro. Usando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar el tercer lado, que es igual a $\sqrt {1^2 + 4^2} $ o $\sqrt{15}$; esto nos permite encontrar el coseno de ese ángulo.

Por definición, $\cos (B)$ es igual a $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$.

Entonces, hacemos lo mismo con $\cos (A) = \dfrac {2}{3} $ a conseguir ese $\sin A = \dfrac{\sqrt{8}}{3}$.

A continuación, podemos utilizar la identidad de $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$ a resolver para $\cos(A + B)$ exactamente, tal como la conocemos $\sin(A), \cos(A), \sin(B)$, e $\cos(B)$.

Entonces, esto nos deja con $\cos(A + B) = \dfrac {\sqrt{15} + \sqrt{8}}{12}$.