La estructura del modelo en sSet

Question

Que es el modelo de la estructura en $\text{sSet}$ (categoría de simplicial conjuntos) que hace que $\text{sSet}$ Quillen equivalente a la categoría de $\text{Cat}$ (de categorías pequeñas) por la contigüidad de realización $-|$ nervio?
Es posible/razonable para describir este modelo de estructura sin el uso de esta contigüidad?
Hay alguna referencia que me puedan dar sobre este tipo de cosas?

Gracias de antemano

Answer 1

Es lo suficientemente fuerte para describir esta estructura del modelo, incluso con referencia a la realización de nervio de contigüidad, así que ni siquiera voy a tratar de hacerlo sin.

Como con el Joyal estructura del modelo, tomamos como nuestro cofibrations todos monomorphisms en $\mathbf{sSet}$. Por supuesto, estos son generados por el límite inclusiones $\partial \Delta^n \hookrightarrow \Delta^n$ ( $n \ge 0$ ). A continuación, el trivial fibrations son los triviales Kan fibrations, y no es difícil ver que un functor $\mathbb{A} \to \mathbb{B}$ es un trivial isofibration (es decir, surjective en los objetos y totalmente fiel) si y sólo si $N (\mathbb{A}) \to N (\mathbb{B})$ es un trivial Kan fibration.

Hasta ahora tan bueno. Por supuesto, para que la izquierda adjoint $\tau_1 : \mathbf{sSet} \to \mathbf{Cat}$ a ser una izquierda Quillen functor, (Ken Brown lema implica que) es necesario que el débil equivalencias ir a categórico equivalencias, así que vamos a definir de manera simple el débil equivalencias de estos morfismos.

Uno puede usar un argumento estándar para mostrar esta clase de débil equivalencias es accesible. Es fácil (el uso de $\tau_1$ y canónica de la estructura del modelo en $\mathbf{Cat}$) para comprobar que la clase de trivial cofibrations es cerrado bajo pushouts y transfinito composición. Por consiguiente, se puede aplicar Smith del principio de reconocimiento a deducir que no es un cofibrantly modelo generado se estructura en $\mathbf{sSet}$ con la cofibrations y débiles de las equivalencias.

Tenga en cuenta que nuestro modelo de estructura en $\mathbf{sSet}$ está construido de modo tal que $\tau_1$ es una izquierda Quillen functor. Dado que tanto $\tau_1$ $N$ también reflejan débil equivalencias, es sencillo ver que tenemos un Quillen equivalencia entre el$\mathbf{Cat}$$\mathbf{sSet}$.

Lo que queda por hacer es dar una descripción de lo trivial cofibrations en este modelo de estructura. Por supuesto, que incluyen todo el interior de la bocina inclusiones $\Lambda^n_k \hookrightarrow \Delta^n$ ( $n \ge 2$ $0 < k < n$ ). Pero también incluyen el límite de inclusiones $\partial \Delta^n \hookrightarrow \Delta^n$$n \ge 3$. (En cierto sentido, esto nos está diciendo que el $n$-simplices para $n \ge 3$ no son relevantes para este modelo de estructura). También hay cosas más complicadas como la morfismos $\Delta^0 \to I$ donde $K$ es cualquier finito simplicial conjunto tal que $\tau_1 K$ es un contráctiles groupoid. Yo conjetura de que estas juntas forman una generación de juego de trivial cofibrations.

La clase de fibrant objetos estrictamente contiene la clase de (simplicial conjuntos isomorfos a) los nervios de las categorías. Ciertamente, cualquier conjunto simplicial que tiene la única extensión de la propiedad para $\Lambda^2_1 \hookrightarrow \Delta^2$ $\partial \Delta^n \hookrightarrow \Delta^n$ ( $n \ge 3$ ) es un nervio de una categoría. Por otro lado, consideremos el siguiente pushout diagrama: $$\requieren{AMScd}\begin{CD} \partial \Delta^2 @>>> \Delta^2 \\ @VVV @VVV \\ \Delta^2 @>>> \Delta^2 \cup_{\partial \Delta^2} \Delta^2 \end{CD}$$ Debe existir un fibrant objeto de $X$ y un trivial cofibration $\Delta^2 \cup_{\partial \Delta^2} \Delta^2 \to X$, pero trivial cofibrations son monomorphisms, pero ninguna de morfismos $\Delta^2 \cup_{\partial \Delta^2} \Delta^2 \to N (\mathbb{C})$ factor a través de la codiagonal $\Delta^2 \cup_{\partial \Delta^2} \Delta^2 \to \Delta^2$, lo $X$ no puede ser el nervio de una categoría.

Answer 2

Si usted puede entender el francés escrito, los invito cordialmente a leer la introducción (es decir, páginas 3 a 19) de este libro para encontrar la respuesta y mucho más material.

Y en caso de que no, este libro es una buena razón para tratar de aprendizaje!