Pregunta acerca de la $\Theta$

Question

¿Alguien puede dar un ejemplo de un caso donde$f(n) = \Theta(g(n))$, para las dos funciones positivas y el límite $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{f(n)}{g(n)}$ no existe?

Answer 1

Seguro, $f(n) = \sin n + 2$, mientras que de $g\equiv 1$. El punto es que si $f \in \Theta (g)$ $n$ lo suficientemente grande que usted tiene que $f(n)/g(n)$ está acotada. Sin embargo, un almacén de secuencia no tiene que tener un límite. Así que, en realidad, usted puede tomar cualquiera limitada secuencia que no tiene un límite y la construcción de un nuevo contraejemplo.

Answer 2

Tome $f(x) = \sin x$$g(x) = \cos x$. el límite no existe porque de preriodicity, pero ambas funciones son siempre $\Theta(1)$.

Answer 3

Intente $f(2n)=g(2n+1)=2$$f(2n+1)=g(n)=1$.

A continuación, $g(n)/2\leqslant f(n)\leqslant2g(n)$ por cada $n$ por lo tanto $f\in\Theta(g)$ pero $f(2n)/g(2n)=2$ mientras $f(2n+1)/g(2n+1)=1/2$ por lo tanto la secuencia de $(f(n)/g(n))_n$ diverge.