La forma cerrada de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_0(2n)}{n^2}$

Question

Soy nuevo en la zona de la serie que implican función de Bessel de primera especie. ¿Cuáles son
las herramientas usuales usted me recomienda para el cómputo de dicha serie? Gracias.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_0(2n)}{n^2}$$

Answer 1

Aquí está una ruta.

Recordemos que

$$ J_0(2n)=\frac 1\pi \int_0^\pi \cos (2n \sin x)\:{\rm d}x \tag1 $$

y que $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos nt}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi t}{2}+\frac{t^2}{4},\quad 0\leq t\leq 2\pi. \tag2 $$ Entonces, debido a la convergencia de la serie en $[0,2\pi] $, podemos escribir $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{J_0(2n)}{n^2} & =\frac 1\pi \int_0^\pi \sum_{n=1}^\infty\frac{\cos (2n \sin x)}{n^2}{\rm d}x \\\\ & =\frac 1\pi \int_0^\pi\left(\frac{\pi^2}{6}-\pi \sin x+\sin^2 x\right){\rm d}x \\\\ & =\frac{\pi^2}{6}-\frac{3}{2}\\\\ & =0.144934066848226436... \end{align} $$ así

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_0(2n)}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}-\frac{3}{2}. $$

Utilizando una técnica similar, uno puede obtener el siguiente resultado.

$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{J_0(2 n \alpha )}{n^2} &=\frac{\pi^2}{6}-2\alpha+\frac{\alpha^2}{2},\qquad \alpha \in [0,\pi).\tag3 \end{align} $$