$R = \mathbb{Z}[\sqrt{-41}]$, muestran que el 3 es irreducible, pero no prime en $R$

Question

Me piden que muestran que el 3 es irreducible, pero no prime en $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-41}]$. Y si $R$ es un dominio Euclídeo.

Para demostrar que no es el primer he a $(1 + \sqrt{-41})(1 - \sqrt{-41}) = 42 = (3)(14)$. Puedo conseguir que 3 divide a los 14 pero, ¿cómo puedo demostrar que 3 no divide a cualquiera $(1 + \sqrt{-41})$, $(1-\sqrt{-41})$ para demostrar que no es primo? $x \mid 42$ pero $x$ no dividir 3?

Para demostrar que es irreductible, ¿cómo lo estoy demostrando que cualquiera de $(1 + \sqrt{-41})$, $(1 - \sqrt{-41})$ es una unidad ya que claramente $(1 + \sqrt{-41})(1 - \sqrt{-41}) = 42$?

Answer 1

Usted puede generalizar bastante un par de cosas aquí. Si $p$ es un número primo en $\mathbb{Z}$, $d \not\equiv 1 \pmod 4$ es negativo y squarefree, y $|p| < |d|$, $p$ es irreducible en a $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$. Desde $p$ no es un cuadrado (una de las más importantes razones por las que 1 no es primo), es irreductible.

Por lo tanto, en $\mathbb{Z}[\sqrt{-41}]$, podemos ver que $|3| < |-41|$. Las normas en este campo, a menos que 41 son todas las plazas: 1, 4, 9, 16, 25, 36, y claramente 3 no es uno de estos.

Si $p$ es irreductible, pero no un número primo, entonces la congruencia $x^2 \equiv d \pmod p$ puede ser resuelto. De hecho,$1^2 \equiv -41 \pmod 3$, para encontrar ese $(1 - \sqrt{-41})(1 + \sqrt{-41}) = 42$.

Si bien $1 - \sqrt{-41}$ o $1 + \sqrt{-41}$ era una unidad, su norma sería igual a 1 (que no tiene que preocuparse acerca de una norma de $-1$ aquí). Pero ya has visto que ambos números tienen normas de 42 (recuerde que $N(a + b \sqrt{d}) = (a - b \sqrt{d})(a + b \sqrt{d})$).

Diciendo "$a$ divide $b$" es una forma abreviada conveniente para "$b$ dividido por $a$ es un número que también en este dominio." Pero $$\frac{1 - \sqrt{-41}}{3} \not\in \mathbb{Z}[\sqrt{-41}].$$ Likewise for $1 + \sqrt{-41}$.

Se ha demostrado así que el 42 consta de dos factorizations en este dominio: $$2 \times 3 \times 7 = (1 - \sqrt{-41})(1 + \sqrt{-41}) = 42.$$ (2 y 7, también irreductible, pero no primos.)

Si un dominio Euclidiano, entonces es también un director ideal de dominio y una única factorización de dominio. Este dominio está claro que no es un dominio Euclídeo porque no es una única factorización de dominio (por ejemplo, 42).

Answer 2

Las respuestas ya están todos muy completo y bueno. Quería darle una perspectiva ligeramente diferente en el hecho de que $3$ no es primo; esta perspectiva es aludido en Robert Sopa muy bonita respuesta.

Si $3 \in R:= \mathbb{Z}[\sqrt{-41}]$ es primo, entonces $3R$ es un primer ideal de $R$. En particular, esto significa que $R/3R$ es una parte integral de dominio. Desde $R$ puede ser expresado como el cociente $\mathbb{Z}[X]/\langle X^{2}+41 \rangle$ y nos puede intercambiar el orden en el que tomamos cocientes, vemos que

$$R/3R \cong \mathbb{Z}[X]/\langle X^{2}+41, 3 \rangle \cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/\langle X^{2}+2 \rangle$$

Por supuesto, $X^{2}+2$ es reducible $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, ya que factores como $(X+1)(X+2)$. Las imágenes de $X+1$ $X+2$ en el cociente del anillo de $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/\langle X^{2}+2 \rangle$ así son divisores de cero, por lo $R/3R$ no es un dominio, y por lo tanto $3$ no es un primer elemento de $R$.

Answer 3

Usted está cerca de una prueba. Se observa que el $42=(1+\sqrt{-41})((1-\sqrt{-41})$. Por lo $3$ divide $(1+\sqrt{-41})(1-\sqrt{-41})$. Pero $3$ divide ni $1+\sqrt{-41}$ ni $1-\sqrt{-41}$.

A continuación se muestra que $3$ es irreductible. Para suponer que $3=(a+b\sqrt{-41})(c+d\sqrt{-41})$ donde $a,b,c,d$ son enteros. Entonces la norma de $a+b\sqrt{-41}$ se divide la norma de $3$. Por lo tanto $a^2+41b^2$ divide $9$. Es claro que debemos tener $b=0$. Por lo $a^2$ divide $9$. De ello se desprende que $a=\pm 1$, en cuyo caso $a+b\sqrt{-41}$ es una unidad, o $a=\pm 3$, en cuyo caso $c+d\sqrt{-41}=\pm 1$, una unidad.

Finalmente, en un dominio Euclídeo, cada irreducible es primo.

Answer 4

Los números en este dominio son de la forma $a + b \sqrt{-41}$ donde $a, b \in \mathbb{Z}$. Aviso que $$\frac{1 + \sqrt{-41}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{-41}}{3},$$ and $$\frac{3}{1 + \sqrt{-41}} = \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{-41}}{14}.$$ Neither of these numbers is of the form $a + b \sqrt{-41}$ with $a, b \in \mathbb{Z}$. This means that $3$ is not a divisor of $1 + \sqrt{-41}$ nor the other way around, but obviously $3$ is a divisor of $42$, proving that $3$ no es primo.

En el último párrafo de tu pregunta te has puesto un poco confundido. Lo que hay que mostrar es que si $xy = 3$,$x, y \in \mathbb{Z}[\sqrt{-41}]$, $x$ es una unidad o $y$ es. Las únicas soluciones son $x = -1$ o $1$, $y = -3$ o $3$. $-1$ y $1$ son unidades.