Probabilidad de coincidencia de la huella dactilar

Question

Estoy tratando de utilizar la fórmula para el paradoja de cumpleaños como referencia para averiguar una ecuación que represente la probabilidad de que una huella dactilar coincida. Aquí está la ecuación para la probabilidad de un cumpleaños coincidente.

$$ p(n) = 1-\frac{364}{365}^{\frac{n(n-1)}{2}} $$

Donde n es el número de personas en la sala.

Obviamente, hay algunas cosas que son diferentes para la probabilidad de las huellas dactilares.

1. Las diferentes huellas dactilares disponibles son teóricamente infinitas pero voy a partir de la suposición que hizo Apple que hay una probabilidad de 1 entre 50.000 de coincidir.
2. Cada persona tiene más de una huella dactilar (10 en total) que se puede utilizar
3. El dispositivo protegido puede tener una o más huellas dactilares registradas como seguras (hasta 10), lo que también aumentará la probabilidad de coincidencia

Intenté adaptar esta ecuación yo mismo y terminé con esto. P. representa el número de dedos registrados, n el número de personas en la sala (multiplicado por 10 para incluir todos los dedos), y Pr es la probabilidad de coincidencia (1/50000)

$$ 1-Pr^{\frac{Fr*((n*10)-Fr)}{2}} $$

Sin embargo, esta ecuación no funciona por un par de razones (probablemente hay más que se me escapan también)

1. No elimina las huellas dactilares registradas de una coincidencia por teléfono. Por ejemplo, si dos personas, cada una con su propio teléfono, han registrado 1 dedo cada una, el total de huellas dactilares disponibles para una coincidencia es de 19 por teléfono.
2. La ecuación supone que cada persona tiene un teléfono con huellas dactilares registradas (me parece bien esa suposición)

Cuando resuelvo esta ecuación con 50 personas que registran 3 huellas dactilares cada una, obtengo

$$ 1-\frac{49999}{50000}^{\frac{150*((50*10)-150)}{2}} $$

Lo que me da un 52,9% de posibilidades de coincidencia que parece demasiado alto. ¿Puede alguien ayudarme a averiguar qué estoy haciendo mal?

Answer 1

El exponente $\frac {n(n-1)}2$ en la paradoja es el número de pares de personas, que es el número de intentos para encontrar una coincidencia. Tienes que definir cuáles son las parejas que buscas. Parece que estás preguntando la probabilidad de una coincidencia al azar entre uno de $150$ huellas dactilares registradas (3 de cada una de 50 personas) y cualquier dedo de las mismas personas (500). En ese caso tu cálculo es correcto y se ajusta a la paradoja del cumpleaños. Una vez que tienes tantos pares que podrían coincidir como elementos, la probabilidad de coincidencia es bastante alta. Tienes $37425$ pares, que no está lejos de $50000$ . En la habitual paradoja del cumpleaños hay $253$ pares en comparación con $365$ días para conseguir una oportunidad de partido de $50\%$