Exponente de la clave pública.

Question

Estoy leyendo acerca de las transformadas de Fourier. Me pregunto por qué la unidad imaginaria es necesario en el exponente. ¿Por qué no en lugar de definirlo como:

$$ \hat f(t)=\int_xe^{tx}f(x) \, dx $$

Estoy buscando en las pruebas de algunas de las propiedades básicas y no veo por qué la definición anterior no es suficiente.

Answer 1

Hay un marco general que la transformada de Fourier encaja en el uso de Pontryagin la dualidad y el estudio de los caracteres de una localmente compacto abelian grupo, tales como $\mathbb{R}$. Los personajes de $\mathbb{R}$ son exactamente los mapas de $x \mapsto e^{itx}$, que es donde el complejo factor viene. Este tiene todo tipo de maravillosas consecuencias, como el hecho de que la transformada de Fourier es unitaria y que hemos de inversión y Plancherel.

Alternativamente, un poco tonta razón: La integral de la $\int e^{-tx} f(x) \, dx$ no convergen para muchas funciones, ya que es muy mal comportado al $t$ $x$ tienen signos opuestos. Por lo tanto, usted pierde Plancherel (en cualquier sentido), junto con el hecho de que $\langle f, g \rangle = \langle \hat{f}, \hat{g} \rangle$, definición en todos los de $L^2$, y así sucesivamente. Ni siquiera convergen para todos Schwarz funciones, por lo que este es un problema. Si se restringen a $x \ge 0$, luego de haber definido la transformada de Laplace.