Estructura geométrica del espacio de todos los wavefunctions

Question

Esto es algo que no puedo comprender. La ecuación de Schroedinger en 1D lee: Si $\Psi (x,t) $ es de al menos diferenciable en a$t$, y al menos dos veces diferenciable en a $x$, luego

$$\frac{\partial\Psi (x,t)}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar} H (x,t) \Psi(x,t) \tag{1}, $$ where $H$ is usually a linear function in $\frac{\partial^2}{\partial x^2}$, but otherwise can arbitrarily depend on $x$ and $t$. He descubierto que si $H$ es totalmente independiente de $t$, entonces el espacio de una "base" solución de (1) $\Psi (x,t)$ es la trivial fibering de $L^2 (\mathbb{R})$ por el círculo unidad, con la fibra típica de un (clase de equivalencia) función(s) en $L^2 (\mathbb{R})$, denota por $\psi (x)$. Pero si el Hamiltoniano tiene un tiempo arbitrario-dependencia, de manera que cualquier separación de variables es imposible, entonces, ¿qué estructura geométrica sería uno dan en el espacio de todas las soluciones de la general (1)?

Answer 1

Puede ser un poco sorprendente, pero el espacio de soluciones de la ecuación de Schrödinger tiene la estructura de un clásico completamente integrable de infinitas dimensiones Hamiltoniano del sistema, por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo por Marmo y Vilasi. En fin, a ver que podemos poner en la ecuación de Schrödinger en la forma de las ecuaciones de movimiento de Hamilton como sigue (del artículo):

Por definición: $$ q(r, t) = \mathrm{Re} \psi(r, t)$$ $$ p(r, t) = \mathrm{Im} \psi(r, t)$$

El (partes real e imaginaria de la ecuación de Schrödinger puede ser escrita como:

$$ \frac{dq}{dt}= \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta p}$$ $$ \frac{dp}{dt}= -\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta q}$$

($\delta$ denota la funcional derivado), con el (clásico) Hamiltoniano del sistema dado por:

$$ \mathcal{H}[q, p] := \frac{1}{2\hbar}\int d^3r [\frac{1}{2m}((\nabla q)^2+(\nabla p)^2) + V(r)(q^2+ p^2)]$$

(Se supone que el Hamiltoniano cuántico es de la forma $H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(r)$).

Por favor, a ver, las aplicaciones y a la generalización, a no lineal de Schrödinger ecuaciones de este formalismo por Wu Liu y Niu y Zhang y Wu.

Dos observaciones:

1) En el anterior Hamiltoniano del sistema, las soluciones relacionadas con los distintos fase global son distintos. El clásico de Hamilton es simétrica en virtud de un cambio de fase global. Con el fin de obtener el verdadero espacio de la solución que se debe realizar una simpléctica reducción de esta simetría.

El resultado de la fase de espacio es el verdadero espacio de estados (normalizada de las funciones de onda modulo una fase global). Tiene la estructura de un infinito dimensional complejo proyectiva del espacio. Este espacio está dotado de la Fubini-Estudio de la métrica. La dinámica de Schrödinger generar isometrías de este espacio. Además, de acuerdo a Ashtekar y Schilling, la geodésica distancias entre dos estados a proporcionar la medición de las probabilidades.

2) La cuantificación de este infinito dimensional Hamiltoniano del sistema conduce a una segunda versión cuantizada de la Schrödinger partículas.