La forma cerrada para esta integral $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}\, e^{-x^{2}-\frac{b^{2}}{x}}$

Question

¿Cómo evaluar esta integral? $$\begin{equation}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}\, e^{-x^{2}-\frac{b^{2}}{x}}\end{equation}$$ Me recuerda la forma de una modificación de la función de Bessel de segunda clase, pero es ligeramente diferente debido a la $x^{2}$ plazo. Puedo series ampliar en términos de una suma de funciones Gamma, pero no sé lo que suma converge a.

Answer 1

Mathematica dice que este aquí $\text{ConditionalExpression}\left[2 \Gamma \left(\frac{5}{4}\right) \, _0F_2\left(;\frac{1}{2},\frac{3}{4};-\frac{b^4}{4}\right)-\frac{2 \sqrt{\pi } \, _0F_2\left(;\frac{3}{4},\frac{5}{4};-\frac{b^4}{4}\right)}{\sqrt{\frac{1}{b^2} }}+2 b^2 \Gamma \left(\frac{3}{4}\right) \, _0F_2\left(;\frac{5}{4},\frac{3}{2};-\frac{b^4}{4}\right)\Re\left(b^2\right)> 0\right]$