Límite de la función derivada

Question

$f:\Bbb{R}\to\Bbb{R},$ $f$ continuo, definido por $xf(x) = e^x-1$ $$\lim _{n\to \infty }nf^{\left(n\right)}\left(x\right)= ?$ $ he intentado calcular $f'(x), f''(x)$ y $f'''(x)$ pero no encuentra ningún patrón.

Answer 1

Aunque puede que no esté muy familiarizado con Taylor teorema, tengo la intención de publicar esta respuesta, de modo que usted puede ver lo poderoso que es. Observe que

$$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$$

Y así,

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{(k+1)(k!)}$$

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{(k+1+n)(k!)}$$

$$nf^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{nx^k}{(k+1+n)(k!)}$$

Y como $n\to\infty$, nos encontramos con (bastante bien, si tomamos el límite a través de la suma)

$$\lim_{n\to\infty}nf^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=e^x$$

Una comprobación rápida dice que este debe ser el correcto.

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Para tomar el límite a través de la suma, debe utilizar convergencia uniforme, que sigue a través de muy fácilmente.