Cómo encontrar esta suma $\frac{1}{1^2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{4^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{4}{6^2}+\cdots+\frac{d(n)}{n^2}+\cdots$

Question

Pregunta:

Encuentre el valor $$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{4^2}+\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{4}{6^2}+\cdots+\dfrac{d(n)}{n^2}+\cdots$$

donde $d(n)$ es El número total de divisores positivos de $n$

Creo que podemos usar $$\zeta{(2)}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$$

Sé Si la factorización primaria de está dada por

$$n=p^{a_{1}}_{1}\cdot p^{a_{2}}_{2}\cdots p^{a_{n}}_{n}$$

entonces el número de divisores positivos de es $$d(n)=(a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{n}+1)$$

Pero el seguimiento es muy feo, no entiendo la idea de @Nate (mi inglés es pobre), ¿puedes publicar los detalles? Gracias

Answer 1

Desde $d(n) = \sum_{d|n}1$ puedes escribir $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d(n)}{n^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{d|n} \frac{1}{n^2}$$

Ahora, el conjunto $\{ (d,n) \in \mathbb{N}^2 : d|n \}$ puede identificarse con el conjunto $\{ (k, d)\in \mathbb{N}^2 \}$ por el mapa $(k,d) \mapsto (d, kd)$ (así $n = kd$ ). Esto significa que

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{d|n} \frac{1}{n^2}= \sum_{d=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(kd)^2} = \sum_{d=1}^{+\infty} \frac{1}{d^2} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \left(\frac{\pi^2}{6} \right)^2$$

Answer 2

Dejemos que $p_1, p_2, \ldots$ sea la lista de primos y $\mathcal{E}$ sea la colección de secuencias enteras no negativas $( e_k )_{k\in \mathbb{Z}_{+}}$ con un número finito de términos distintos de cero.

Evey $n \in \mathbb{Z}_{+}$ puede representarse como un producto de la forma $\prod\limits_{k=1}^\infty p_k^{e_k}$ para un único $e \in \mathcal{E}$ .

Tenemos $$\sum_{n\in\mathbb{Z}_{+}} \frac{d(n)}{n^2} = \sum_{e\in \mathcal{E}} \frac{d\left(\prod_{k=1}^\infty p_k^{e_k}\right)}{\left(\prod_{k=1}^\infty p_k^{e_k}\right)^2} = \sum_{e\in \mathcal{E}} \prod_{k=1}^\infty \frac{e_k+1}{p_k^{2e^k}} = \prod_{k=1}^{\infty} \left[ \sum_{e_k=0}^\infty \frac{e_k+1}{p_k^{2e^k}} \right]\\ = \prod_{k=1}^{\infty} \left[ 1 - \frac{1}{p_k^2}\right]^{-2} = \left\{\prod_{k=1}^{\infty} \left[ 1 - \frac{1}{p_k^2}\right]^{-1}\right\}^2 = \left\{\prod_{k=1}^{\infty} \sum_{e_k=0}^{\infty} \frac{1}{p_k^{2^{e_k}}}\right\}^2\\ = \left\{\sum_{e\in \mathcal{E}} \frac{1}{\left(\prod_{k=1}^\infty p_k^{e_k}\right)^2} \right\}^2 = \left\{\sum_{n\in\mathbb{Z}_{+}}\frac{1}{n^2}\right\}^2 = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36} $$