Pregunta sobre espacios topológicos del Vector

Question

Que $E$ ser un espacio topológico del Vector y $U$ un conjunto acotado de $E$ $0\in U$, es decir, dada cualquier barrio $W$ del origen, existen $\alpha>0$ tal que $\alpha U\subset W$. Es cierto ese % $ $$\bigcap_{n=1}^\infty2^{-n}U={0}$

Nota: he añadido la hipótesis $0\in U$.

Answer 1

Supongo que $E$ es Hausdorff (no todos los autores requieren). Entonces para cualquier $v\ne 0$, la topología del subspace en $v\mathbb R$ es solo la topología estándar. Se observa que el $U\cap v\mathbb R$ limita en el sentido habitual y por lo tanto $v\notin 2^{-n}U$ % adecuado $n$.

Answer 2

Nada de malo con Hagen solución, sólo quería completar mi sugerencia para una solución completa a partir de primeros principios :-).

Supongo que $E$ es de Hausdorff. Sostengo que esto implica que la intersección de esas versiones a escala de la $U$ no puede contener un valor distinto de cero vector. Deje $v\in E, v\neq0$. Entonces existe un abierto vecindario $V_1$ de los de origen con la propiedad de que $v\notin V_1$. Por la continuidad de la multiplicación escalar existe otro barrio $V_2$ sobre el origen y un intervalo abierto $I_a=(-a,a),a>0,$ tal que para todos los $x\in V_2, \alpha\in I_a$ hemos $\alpha x\in V_1$. Deje $V_3=(a/2)V_2$. La multiplicación por $a/2$ es un homeomorphism, por lo $V_3$ es una vecindad del origen. Afirmo que para todos los $t\in(0,1]$ tenemos $tV_3\subseteq V_1$. Así que vamos a $t\in(0,1]$ $x\in V_3$ ser arbitraria. Tenemos $x=(a/2)y$ algunos $y\in V_2$. A continuación, $tx=(ta/2) y\in V_1,$ porque $(y,ta/2)\in V_2\times I_a$.

Ahora vamos a $$ W=\bigcup_{t\en(0,1]} tV_3.$$ Esta es una vecindad del origen como de la unión de bloques abiertos. Acabamos de comprobar que las $W\subseteq V_1$, lo $v\notin W$. Además $W$ tiene la propiedad de que $tW\subseteq W$ todos los $t\in(0,1]$. Finalmente, estamos en una posición para atacar el principal reclamo. Por el acotamiento de $U$, $\alpha U\subseteq W$ algunos $\alpha>0$. Si $2^{-n}<\alpha$, luego $t=2^{-n}/\alpha\in(0,1]$, y por lo tanto $$ 2^{-n}U=t\alpha U\subseteq tW\subseteq W. $$ Por lo tanto $v\notin 2^{-n}U$, y la demanda de la siguiente manera.