Integral $\int_{0}^{\pi/2}n \left(1-\sqrt[n]{\cos x}\right) \mathrm{d}x$ y su límite como $n\to\infty$

Question

Evaluar: %#% $ de #% pensé en escribir esto como $$ \int{0}^{\pi/2}n \left(1-\sqrt[n]{\cos x}\right) \mathrm{d}x$$$I(n)= \int{0}^{\pi/2}n \left(1-\sqrt[n]{\cos x}\right) \mathrm{d}x$n$. Sin embargo, no he podido ir mucho más lejos con esto. Podría alguien por favor mostrar ¿cómo podría proceder con la Integral? ¡Muchas gracias! $ and then Differentiating under the Integral Sign with respect to $$$$% $ $ Note: If this helps, the actual problem was to evaluate the original problem was this: $que pensé que trataría de resolver mediante la primera resolución de la Integral.

Answer 1

Ampliar poderes de %#% usando #% que $\cos^{\frac1n}x$ $ ahora el límite se convierte en igual a $\frac{1}{n}$ $ $$\cos^{\varepsilon}x=1+\varepsilon\ln\cos x+O\left(\varepsilon^2\right).$

P.S. El integral también puede evaluarse en términos de funciones de gamma (ver aquí), pero esto es de poca ayuda para evaluar el límite.

Answer 2

Creo que debería solucionar el problema resolviendo el límite primero. Puede tomar el límite en el integral, por lo que ahora el problema se convierte en

$$\int{0}^{\pi /2}\lim{n\rightarrow \infty }n(1-\sqrt[n]{\cos x})dx$$

Por la regla de L'Hôpital,

$$\lim{n \to \infty }n(1-\sqrt[n]{\cos x})=\lim{n \to \infty }\frac{-\cos^{\frac 1n}x\cdot \ln \cos x\cdot \frac {-1}{n^2}}{-\frac{1}{n^2}}=-\ln \cos x$$

Por lo tanto tenemos

$$\lim{n \to \infty }\int{0}^{\pi /2}n(1-\sqrt[n]{\cos x})dx=-\int_{0}^{\pi /2}\ln \cos x dx$$

Ahora la integral del lado derecho es $-\frac{\pi }{2}\ln2$. Usted puede consultar aquí.

Por lo tanto

$$\lim{n \to \infty }\int{0}^{\pi /2}n(1-\sqrt[n]{\cos x})dx=\frac{\pi }{2}\ln2$$

Answer 3

%#% $ #% mediante la función Beta tenemos: $$\int{0}^{\pi/2}\sqrt[n]{\cos x}\,dx = \int{0}^{\pi/2}\sqrt[n]{\sin x}\,dx = \int{0}^{1}\frac{u^{1/n}}{\sqrt{1-u^2}}\,du = \frac{1}{2}\int{0}^{1}(1-t)^{-\frac{1}{2}}t^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}}\,dt$ $ deje ahora $$\int_{0}^{\pi/2}\sqrt[n]{\cos x}\,dx=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)}{2\,\Gamma\left(1+\frac{1}{2n}\right)}.\tag{1}$. Por las propiedades de la función digamma tenemos: $f(z)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}+z\right)}{\Gamma\left(1+z\right)}$ $ por lo tanto: $$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{d}{dz}\log f(z) = H{x-\frac{1}{2}}-H{x}\tag{2}$ $ y lo que sigue: $$\int_{0}^{\pi/2}\sqrt[n]{\cos x}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\left(\sqrt{\pi}-\frac{\sqrt{\pi}\log 2}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\tag{3}$ $