Un espacio topológico es iff extremally desconectado cada dos conjuntos abiertos disjuntos tienen cierres separados

Question

Demostrar que para cualquier espacio topológico $X$ los siguientes son equivalentes:

• $X$ es extremally desconectado
• Cada dos abiertos disjuntos pone en $X$ tienen distintos cierres.

Mi intento por llegar a una solución

Asumir cada dos abiertos disjuntos pone en $X$ tienen distintos cierres. Vamos a abrir en $X$, $A$ y $X \setminus \overline{A} $ discontinuo conjunto abierto $\overline{A} \cap (\overline{X \setminus \overline{A}} )= \emptyset$,

$(\overline{X \setminus \overline{A}} ) \subset X \setminus \overline{A}$, lo que implica que $X \setminus \overline{A}$ es cerrado en $X$. Por lo tanto $\overline{A}$ está abierto en $X$. Así obtenemos $X$ es extremally desconectado.

De lo contrario Vamos a $X$ es extremally desconectado. Luego del cierre de cada conjunto abierto es abierto. Por lo $X$ es completamente separados. Vamos $A$, $B$ dos abiertos disjuntos conjuntos. Entonces existe una función continua $g:X \rightarrow [0,1]$ tal que $g(A)=0$, $g(B)=1$

¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

La primera mitad de su argumento está muy bien. Para la segunda mitad no necesita la función $g$. Tienes el % de conjuntos abiertos disjuntos $A$y $B$. Si $x\in B$, entonces el $B$ es un abierto nbhd de $x$ discontinuas de $A$, que $x\notin\operatorname{cl}A$. Así, $B\cap\operatorname{cl}A=\varnothing$. Ahora Supongamos que $x\in\operatorname{cl}A$; $\operatorname{cl}A$ está abierto, por lo que es una abierta nbhd de %#% disjuntos de $x$, #% y $B$. Ahora tiene sólo un pequeño paso para terminar el argumento para mostrar que $x\notin\operatorname{cl}B$.

Answer 2

Buscar en el conjunto abierto $\overline{A}\cap \overline{B}$. ¿Es posible cumplir $A$?