Submanifold dado por una inmersión abierta

Question

Me preguntaba si se cumple lo siguiente:

Deje $M,N$ dos colectores tal que $\dim M\leq \dim N$ $f:M\rightarrow N$ un suave inmersión.

Supongamos que para cualquier conjunto abierto $U\subset M$, $f(U)$ está abierto en $f(M)$, implica que el $f(M)$ es un submanifold de $N$ ?

Sé que si también le pedimos $f$ a ser inyectiva, entonces es una incrustación y $f(M)$ es automáticamente un submanifold de $N$. Pero sin este supuesto, no estoy seguro de que el resultado se mantiene.

Está abierto un mapa en su imagen de alguna manera nos dice que no hay mal auto-intersección en $f(M)$ pero no estoy seguro de que esto es suficiente para tener un submanifold.

Answer 1

Desde $f$ es un local imedding y un mapa, existe una coordenada parche $V \subset N$ alrededor de cada punto de $f(M)$ tal que $V \cap N = \mathbb{R}^m$. $f(M)$ es por lo tanto un submanifold de $N$.

Más precisamente:

Fix $p \in M$. Desde $f$ es un local de involucración, existen conjuntos abiertos $U \subset M$, $V \subset N$, $p \in U$ y los gráficos de $\phi: U \rightarrow \mathbb{R}^m, \psi: V \rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ es la inclusión $\mathbb{R}^m \subset \mathbb{R}^n$. Ahora desde $f(U)$ está abierto en $F(M)$ podemos reducir $V$ (si es necesario) para que $V \cap f(M) = f(U) = \psi^{-1}(\mathbb{R}^m)$. La existencia de un gráfico, $(V, \psi)$, en cada punto de $f(p)$ $f(M)$ es una condición necesaria y suficiente para $f(M)$ a ser un incrustada submanifold de $N$.