Tarea para casa | Hallar la solución general de la relación de recurrencia

Question

Una pregunta que tengo atascada desde hace tiempo es la siguiente

Hallar la solución general a la relación de recurrencia

$$a_n = ba_{n-1} - b^2a_{n-2}$$

Dónde $b \gt 0$ es una constante.

No entiendo cómo se puede encontrar la solución general con $b$ y $b^2$ en la relación.

Cualquier ayuda o consejo será muy apreciado.

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Utilizando $a_n = t^n$ He encontrado la ecuación cuadrática $t^2 - bt + b^2$

Que luego viene a:

$$\frac{b \pm \sqrt{-4b^2 + b}}{2}$$

Por lo tanto tengo raíces complejas como $-4b^2 + b$ será un número negativo.

¿Cómo continúo desde este punto?

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Utilizando $a_n = b^nc_n$ Vine a $c_n = c_{n-1} - c_{n-2}$ . Sustituyendo $t^n$ para $c_n$ Obtengo la cuadrática $t^2 - t + t$ . Que resuelve a:

$$ \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} $$

$\Rightarrow D = \frac{1}{2}\sqrt{1 + 2\sqrt{3}}$ y $tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow a_n = \left(\frac{\sqrt{1 + 2\sqrt{3}}}{2}\right)(Acos(n\theta) + Bsin(n\theta))$

Answer 1

Cuando tenga $a_n=ba_{n-1}+b^2a_{n-2}$ puede ver $$b^\color{red}{0}\cdot a_\color{blue}{n}=b^\color{red}{1}\cdot a_{\color{blue}{n-1}}-b^\color{red}{2}\cdot a_{\color{blue}{n-2}}$$ donde $0+n=1+(n-1)=2+(n-2)$ .

En tal caso, dividiendo ambos lados por $b^n$ te da $$\frac{a_n}{b^n}=\frac{a_{n-1}}{b^{n-1}}+\frac{a_{n-2}}{b^{n-2}}\iff c_n=c_{n-1}-c_{n-2}$$ donde $c_n=a_n/b^n$ .

Resolver $t^2=t-1$ nos da $t=\frac{1-\sqrt 3i}{2}(=\alpha), \frac{1+\sqrt 3i}{2}(=\beta)$ .

Por lo tanto, tenemos $$c_{n+1}-\alpha c_n=\beta (c_n-\alpha c_{n-1})=\cdots =\beta^n(c_1-\alpha c_0),$$ $$c_{n+1}-\beta c_n=\alpha (c_n-\beta c_{n-1})=\cdots =\alpha^n(c_1-\beta c_0).$$ Sustrayendo lo segundo de lo primero se obtiene $$\frac{a_n}{b^n}=c_n=\frac{\beta^n-\alpha^n}{\beta-\alpha}c_1+\frac{\alpha\beta(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})}{\beta-\alpha}c_0.$$

Answer 2

Reescriba la recurrencia como $a_{n+2} = b a_{n+1} + b^2 a_n$ y utilice la función Generar. Esto es más lento, pero más fundamental: $ G(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k$ . Después tendrás que hacer un poco de álgebra. En el lado izquierdo tendrás $G(z)$ en el lado derecho $\sum_{k=0}^{\infty} \varphi(k) z^k$ . Ahora iguala los coeficientes en $z^n$ y este será tu resultado.

Answer 3

Si no me equivoco has cometido un pequeño error en tu ecuación cuadrática. Sustituyendo $a_n=t^n$ da: $$t^n=bt^{n-1}+b^2t^{n-2}\quad\Longrightarrow\quad t^2-bt-b^2=0.$$ Esta ecuación tiene dos raíces: $t_1=\varphi b$ y $t_2=\psi b$ , donde: $$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \qquad\psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$ La solución viene dada ahora por una combinación de estas dos soluciones: $$a_n = \alpha t_1 + \beta t_2 = \alpha(\varphi b)^n + \beta(\psi b)^n = \left(\alpha\varphi^n+\beta\psi^n\right)b^n.$$ Por fin, $\alpha$ y $\beta$ dependen de las opciones de $a_0$ y $a_1$ . Elija $\alpha$ y $\beta$ de forma que la solución dé los valores correctos para $a_0$ y $a_1$ así que..: $$\alpha + \beta = a_0, \qquad \left(\alpha\varphi+\beta\psi\right)b=a_1.$$ Resolviendo este conjunto de ecuaciones se llega a: $$\alpha=\frac{a_1-a_0\psi b}{(\varphi-\psi)b}, \qquad \beta=\frac{a_0\varphi b-a_1}{(\varphi-\psi)b}.$$ La expresión para $a_n$ junto con las expresiones para $\varphi,\psi,\alpha$ y $\beta$ constituyen la solución.

Answer 4

El enfoque sugerido por Alex parece el correcto.

Las otras respuestas suponen que $\frac{a_{n+1}}{a_n} = a$

No veo cómo se deduce tal suposición de la pregunta planteada.

PD: Debería haber añadido esto como comentario y no como respuesta, pero no tengo suficientes créditos para publicar un comentario. Disculpas.